Który Z Podanych Punktów Leży Na Zewnątrz Okręgu Narysowanego Obok

Dzień dobry wszystkim! Dzisiaj porozmawiamy o tym, jak sprawdzić, czy punkt leży na zewnątrz okręgu. To bardzo przydatna umiejętność, a zasady są proste do zrozumienia. Wyobraźcie sobie okrąg narysowany na kartce papieru. Mamy kilka punktów i chcemy wiedzieć, które z nich znajdują się poza tym okręgiem.

Najpierw, musimy zrozumieć, co definiuje okrąg. Okrąg to zbiór wszystkich punktów, które znajdują się w tej samej odległości od jednego punktu, zwanego środkiem okręgu. Ta odległość nazywana jest promieniem okręgu. Wyobraźcie sobie, że macie sznurek. Jeden koniec przywiązujecie w jednym miejscu (to środek), a drugi koniec, napięty sznurek, pozwala Wam narysować idealny okrąg.

Jeśli punkt leży na okręgu, jego odległość od środka jest dokładnie równa promieniowi. Jeśli punkt leży wewnątrz okręgu, jego odległość od środka jest mniejsza niż promień. No i najważniejsze – jeśli punkt leży na zewnątrz okręgu, jego odległość od środka jest większa niż promień.

Mamy więc trzy możliwości:

• Punkt na okręgu: odległość = promień
• Punkt wewnątrz okręgu: odległość < promień
• Punkt na zewnątrz okręgu: odległość > promień

Teraz, jak zmierzyć tę odległość? Jeżeli mamy dane współrzędne punktów (x, y) oraz współrzędne środka okręgu (a, b), możemy użyć wzoru na odległość między dwoma punktami. Ten wzór wygląda następująco:

Odległość = √((x - a)² + (y - b)²)

Gdzie:

• (x, y) to współrzędne badanego punktu
• (a, b) to współrzędne środka okręgu
• √ oznacza pierwiastek kwadratowy

Wzór ten, choć może wyglądać groźnie, jest naprawdę prosty w użyciu. Najpierw odejmujemy współrzędną x środka od współrzędnej x punktu i podnosimy wynik do kwadratu. Następnie robimy to samo dla współrzędnych y. Dodajemy te dwa kwadraty do siebie, a na koniec wyciągamy pierwiastek kwadratowy z sumy. Voila! Mamy odległość między punktem a środkiem okręgu.

Jak to wygląda w praktyce?

Załóżmy, że mamy okrąg o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 5. Chcemy sprawdzić, który z punktów leży na zewnątrz okręgu:

A (3, 4) B (1, 2) C (6, 0) D (0, 0) E (-3, -5)

Zaczynamy od punktu A (3, 4). Obliczamy jego odległość od środka (0, 0):

Odległość = √((3 - 0)² + (4 - 0)²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Odległość punktu A od środka okręgu wynosi 5, czyli dokładnie tyle, ile promień. Zatem punkt A leży na okręgu, a nie na zewnątrz.

Teraz punkt B (1, 2):

Odległość = √((1 - 0)² + (2 - 0)²) = √(1² + 2²) = √(1 + 4) = √5 ≈ 2.24

Odległość punktu B od środka okręgu wynosi około 2.24, czyli mniej niż promień (5). Zatem punkt B leży wewnątrz okręgu.

Kolejny punkt, C (6, 0):

Odległość = √((6 - 0)² + (0 - 0)²) = √(6² + 0²) = √36 = 6

Odległość punktu C od środka okręgu wynosi 6, czyli więcej niż promień (5). Zatem punkt C leży na zewnątrz okręgu! Bingo! Znaleźliśmy jeden z punktów.

Przejdźmy do punktu D (0, 0):

Odległość = √((0 - 0)² + (0 - 0)²) = √(0² + 0²) = √0 = 0

Odległość punktu D od środka okręgu wynosi 0, czyli środek okręgu. Zdecydowanie leży wewnątrz okręgu (bardzo wewnątrz!).

Ostatni punkt, E (-3, -5):

Odległość = √((-3 - 0)² + (-5 - 0)²) = √((-3)² + (-5)²) = √(9 + 25) = √34 ≈ 5.83

Odległość punktu E od środka okręgu wynosi około 5.83, czyli więcej niż promień (5). Zatem punkt E również leży na zewnątrz okręgu!

Podsumowując, z podanych punktów, punkty C (6, 0) i E (-3, -5) leżą na zewnątrz okręgu o środku w (0, 0) i promieniu 5. Punkt A leży na okręgu, a punkty B i D leżą wewnątrz okręgu.

Mam nadzieję, że to jest jasne! Pamiętajcie, kluczem jest obliczenie odległości punktu od środka okręgu i porównanie jej z promieniem. Jeśli odległość jest większa niż promień, punkt leży na zewnątrz.

Gdybyśmy mieli dany okrąg w postaci równania (x - a)² + (y - b)² = r², gdzie (a, b) to środek, a r to promień, to moglibyśmy postąpić bardzo podobnie. Wstawiamy współrzędne punktu (x, y) do równania i sprawdzamy, czy lewa strona jest większa, mniejsza, czy równa prawej stronie.

Jeśli (x - a)² + (y - b)² > r², punkt leży na zewnątrz okręgu. Jeśli (x - a)² + (y - b)² < r², punkt leży wewnątrz okręgu. Jeśli (x - a)² + (y - b)² = r², punkt leży na okręgu.

Ten sposób jest równoważny liczeniu odległości, ale może być czasem szybszy, zwłaszcza jeśli nie musimy znać dokładnej wartości odległości, a tylko chcemy sprawdzić, czy punkt jest na zewnątrz, wewnątrz, czy na okręgu.

Teraz spróbujcie sami! Wybierzcie losowe współrzędne dla środka okręgu, ustalcie promień, a następnie wygenerujcie kilka punktów. Obliczcie odległości i sprawdźcie, które punkty leżą na zewnątrz okręgu. Im więcej ćwiczycie, tym lepiej zrozumiecie tę koncepcję. Powodzenia!

I jeszcze jedna ważna rzecz: czasami, zamiast liczyć pierwiastek kwadratowy, możemy porównać kwadrat odległości z kwadratem promienia. Czyli zamiast porównywać √((x - a)² + (y - b)²) z r, możemy porównać (x - a)² + (y - b)² z r². To upraszcza obliczenia, bo unikamy wyciągania pierwiastka. Jeśli (x - a)² + (y - b)² > r², to punkt leży na zewnątrz, i tak dalej. To jest szczególnie przydatne, gdy liczymy ręcznie i nie mamy kalkulatora.

To wszystko na dzisiaj. Mam nadzieję, że teraz wiecie, jak sprawdzić, czy punkt leży na zewnątrz okręgu. Pamiętajcie o wzorze na odległość, o porównywaniu odległości z promieniem i o tym, że matematyka może być zabawna!