Które Z Zaznaczonych Obok Punktów Należą Do Narysowanego Okręgu

Dobrze, przejdźmy do tego, jak sprawdzić, które punkty należą do narysowanego okręgu. Wyobraź sobie, że masz narysowany okrąg i kilka punktów rozsypanych dookoła. Chcemy ustalić, które z tych punktów leżą dokładnie na okręgu, a które są poza nim lub w jego wnętrzu.

Najprościej mówiąc, punkt należy do okręgu, jeśli jego odległość od środka okręgu jest równa promieniowi okręgu. Brzmi to może trochę skomplikowanie, ale zaraz to uprościmy.

Wyobraź sobie, że masz okrąg narysowany na kartce. Zaznaczmy środek okręgu. To będzie nasz punkt odniesienia. Teraz weźmy dowolny punkt, powiedzmy punkt A. Jak sprawdzić, czy punkt A leży na okręgu? Musimy zmierzyć odległość między punktem A a środkiem okręgu. Jeśli ta odległość jest równa długości promienia okręgu, to znaczy, że punkt A leży na okręgu. Jeśli odległość jest mniejsza niż promień, to punkt A leży wewnątrz okręgu. A jeśli odległość jest większa niż promień, to punkt A leży na zewnątrz okręgu.

Skoro mówimy o mierzeniu odległości, to warto wspomnieć o tym, jak to zrobić precyzyjnie, szczególnie jeśli mamy do czynienia z okręgiem narysowanym w układzie współrzędnych.

Układ Współrzędnych i Odległość Punktu od Środka Okręgu

W matematyce często korzystamy z układu współrzędnych, żeby opisywać położenie punktów. Wyobraź sobie, że masz okrąg narysowany na kartce w kratkę. Każda kratka ma swój numer, prawda? Podobnie jest w układzie współrzędnych. Każdy punkt ma swoje dwie liczby, które mówią nam, gdzie ten punkt się znajduje. Te liczby nazywamy współrzędnymi punktu. Mamy współrzędną x (poziomą) i współrzędną y (pionową). Zazwyczaj zapisujemy to jako (x, y).

Załóżmy, że środek naszego okręgu ma współrzędne (a, b). Czyli a to współrzędna x środka okręgu, a b to współrzędna y środka okręgu. Promień okręgu oznaczmy jako r.

Teraz weźmy dowolny punkt, powiedzmy punkt P, o współrzędnych (x, y). Jak sprawdzić, czy punkt P leży na okręgu? Użyjemy wzoru na odległość między dwoma punktami. Ten wzór wygląda następująco:

Odległość = √((x - a)² + (y - b)²)

Gdzie:

• x i y to współrzędne punktu P (x, y), który sprawdzamy.
• a i b to współrzędne środka okręgu (a, b).

Czyli odejmujemy współrzędną x środka okręgu od współrzędnej x punktu P, podnosimy do kwadratu. Potem odejmujemy współrzędną y środka okręgu od współrzędnej y punktu P, podnosimy do kwadratu. Dodajemy te dwa kwadraty i wyciągamy pierwiastek kwadratowy z sumy. To nam daje odległość między punktem P a środkiem okręgu.

Jeśli ta odległość jest równa promieniowi okręgu r, to punkt P leży na okręgu. Czyli:

√((x - a)² + (y - b)²) = r

Jeśli ta odległość jest mniejsza niż promień okręgu, to punkt P leży wewnątrz okręgu. Czyli:

√((x - a)² + (y - b)²) < r

A jeśli ta odległość jest większa niż promień okręgu, to punkt P leży na zewnątrz okręgu. Czyli:

√((x - a)² + (y - b)²) > r

Przykład:

Powiedzmy, że mamy okrąg o środku w punkcie (2, 3) i promieniu 5. Chcemy sprawdzić, czy punkt (6, 3) leży na okręgu.

1. Podstawiamy wartości do wzoru:

√((6 - 2)² + (3 - 3)²) = √((4)² + (0)²) = √(16 + 0) = √16 = 4

2. Odległość punktu (6, 3) od środka okręgu wynosi 4.

3. Promień okręgu wynosi 5.

4. Ponieważ 4 < 5, punkt (6, 3) leży wewnątrz okręgu.

Inny przykład:

Powiedzmy, że mamy okrąg o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 3. Chcemy sprawdzić, czy punkt (3, 0) leży na okręgu.

1. Podstawiamy wartości do wzoru:

√((3 - 0)² + (0 - 0)²) = √((3)² + (0)²) = √(9 + 0) = √9 = 3

2. Odległość punktu (3, 0) od środka okręgu wynosi 3.

3. Promień okręgu wynosi 3.

4. Ponieważ 3 = 3, punkt (3, 0) leży na okręgu.

Jeszcze jeden przykład:

Powiedzmy, że mamy okrąg o środku w punkcie (1, 1) i promieniu 2. Chcemy sprawdzić, czy punkt (4, 1) leży na okręgu.

1. Podstawiamy wartości do wzoru:

√((4 - 1)² + (1 - 1)²) = √((3)² + (0)²) = √(9 + 0) = √9 = 3

2. Odległość punktu (4, 1) od środka okręgu wynosi 3.

3. Promień okręgu wynosi 2.

4. Ponieważ 3 > 2, punkt (4, 1) leży na zewnątrz okręgu.

Podsumowując, żeby sprawdzić, czy dany punkt leży na okręgu, musimy obliczyć jego odległość od środka okręgu i porównać tę odległość z promieniem okręgu. Jeśli odległość jest równa promieniowi, punkt leży na okręgu. Jeśli odległość jest mniejsza od promienia, punkt leży wewnątrz okręgu. A jeśli odległość jest większa od promienia, punkt leży na zewnątrz okręgu.

Pamietaj, że jeśli masz zadanie z okręgiem i punktami do sprawdzenia, najważniejsze jest, żeby dokładnie określić współrzędne środka okręgu i długość promienia. Następnie, dla każdego punktu, oblicz jego odległość od środka okręgu i porównaj z promieniem. To wszystko!