Które Wyrażenia Algebraiczne Przyjmuje Zawsze Wartość Dodatnią

Wyrażenia algebraiczne to takie "układy" liczb, liter (zmienne), i znaków działań (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie). Czasami, niezależnie od tego, jaką liczbę wstawimy za literę (zmienną), wynik takiego "układu" zawsze będzie dodatni. O tym właśnie sobie porozmawiamy.

Wyobraź sobie, że masz wyrażenie algebraiczne i chcesz sprawdzić, czy zawsze daje wynik dodatni. Co robisz? Spróbujesz wstawić różne liczby za litery (zmienne). Jeśli za każdym razem wyjdzie wynik dodatni, to dobrze, ale to jeszcze nie dowód! Może akurat pominąłeś jakąś "złą" liczbę. Musimy podejść do tego bardziej systematycznie.

Najprostszym przykładem wyrażenia, które zawsze daje wynik dodatni (albo zero, ale to zaraz wytłumaczę) jest kwadrat jakiejś liczby. Na przykład, x^2. Niezależnie od tego, co wstawisz za x, wynik zawsze będzie albo dodatni, albo zerowy. Dlaczego? Bo:

Jak wstawisz liczbę dodatnią, to dodatnia razy dodatnia daje dodatnią.
Jak wstawisz liczbę ujemną, to ujemna razy ujemna też daje dodatnią!
Jak wstawisz zero, to zero razy zero daje zero.

Dlatego właśnie x^2 jest zawsze większe lub równe zero. Mówimy, że jest "nieujemne". Jeśli chcemy mieć pewność, że wynik jest zawsze dodatni (ściśle większy od zera), musimy trochę pokombinować.

Możemy na przykład dodać do x^2 jakąś liczbę dodatnią. Czyli na przykład: x^2 + 1. Teraz, niezależnie od tego, co wstawisz za x, wynik będzie zawsze większy od 1, a więc na pewno dodatni. Dlaczego? Bo najmniejsza wartość x^2 to zero (gdy x=0), a zero plus jeden to jeden. Więc wszystko inne będzie jeszcze większe.

Inny przykład to wyrażenie (x-2)^2 + 3. Co tu się dzieje?

Odejmujemy od x liczbę 2.
Podnosimy wynik do kwadratu.
Dodajemy do wyniku liczbę 3.

Kwadrat czegokolwiek jest zawsze nieujemny (większy lub równy zero). Zatem najmniejsza wartość (x-2)^2 to zero. Kiedy to się stanie? Wtedy, gdy x-2 = 0, czyli gdy x = 2. Wtedy (x-2)^2 = (2-2)^2 = 0^2 = 0.

Ale nawet wtedy, gdy (x-2)^2 jest równe zero, to dodajemy jeszcze do tego trójkę! Zatem najmniejsza wartość całego wyrażenia to 0 + 3 = 3. A trójka jest dodatnia! Więc całe wyrażenie (x-2)^2 + 3 jest zawsze dodatnie.

Wyrażenia tego typu (kwadrat plus coś) często dają nam wartości dodatnie. Ale trzeba uważać na znaki!

Spójrzmy na wyrażenie -x^2. Tutaj, kwadrat x jest pomnożony przez minus jeden. To oznacza, że wynik będzie zawsze ujemny (albo zerowy). Jak wstawisz liczbę dodatnią, to najpierw ją podnosisz do kwadratu (dostajesz dodatnią), a potem mnożysz przez minus jeden (dostajesz ujemną). Jak wstawisz liczbę ujemną, to najpierw ją podnosisz do kwadratu (dostajesz dodatnią), a potem mnożysz przez minus jeden (dostajesz ujemną). Jak wstawisz zero, to zero razy minus jeden to zero.

Więc -x^2 jest zawsze mniejsze lub równe zero. Mówimy, że jest "niedodatnie".

Bardziej Skomplikowane Przypadki

Czasami wyrażenia są bardziej skomplikowane i trudniej jest od razu stwierdzić, czy są zawsze dodatnie. Na przykład: x^4 + 2x^2 + 1.

Można spróbować to uprościć. Zauważ, że to wyrażenie wygląda trochę jak kwadrat sumy. Przypomnij sobie wzór: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Czy nasze wyrażenie pasuje do tego wzoru? Zobaczmy:

a^2 mogłoby być x^4, czyli a mogłoby być x^2.
b^2 mogłoby być 1, czyli b mogłoby być 1.
Wtedy 2ab to 2 * x^2 * 1 = 2x^2.

Zgadza się! Czyli nasze wyrażenie x^4 + 2x^2 + 1 to tak naprawdę (x^2 + 1)^2.

A to już wiemy, jak analizować! x^2 jest zawsze większe lub równe zero. Dodanie do tego jedynki daje nam coś zawsze większego lub równego jeden (czyli zawsze dodatniego). A podniesienie czegoś dodatniego do kwadratu daje nam coś dodatniego.

Zatem (x^2 + 1)^2 jest zawsze dodatnie.

Inny przykład: (x + 1)^2 + (y - 2)^2. Teraz mamy dwie zmienne: x i y. Ale to nie zmienia faktu, że kwadrat czegokolwiek jest zawsze nieujemny. Zatem:

(x + 1)^2 jest zawsze większe lub równe zero.
(y - 2)^2 jest zawsze większe lub równe zero.

Suma dwóch liczb nieujemnych jest zawsze nieujemna. Zatem (x + 1)^2 + (y - 2)^2 jest zawsze większe lub równe zero. Czy może być równe zero? Tak, tylko wtedy, gdy oba kwadraty są równe zero. Czyli wtedy, gdy x + 1 = 0 (czyli x = -1) i y - 2 = 0 (czyli y = 2).

Jeśli chcemy, żeby to wyrażenie było zawsze dodatnie, musimy dodać do niego jakąś liczbę dodatnią. Na przykład: (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + 5. Teraz, nawet jeśli oba kwadraty są równe zero, to dodajemy jeszcze piątkę, więc wynik będzie zawsze dodatni.

Wyrażenia z wartością bezwzględną też często dają wyniki dodatnie (lub zerowe). Wartość bezwzględna z liczby to jej "odległość" od zera. Zatem |x| jest zawsze większe lub równe zero. Na przykład:

|3| = 3
|-3| = 3
|0| = 0

Podobnie jak z kwadratem, żeby mieć pewność, że wyrażenie jest zawsze dodatnie, możemy dodać do wartości bezwzględnej jakąś liczbę dodatnią. Na przykład: |x| + 2.

Podsumowując:

Kwadrat dowolnego wyrażenia jest zawsze nieujemny (większy lub równy zero).
Wartość bezwzględna z dowolnego wyrażenia jest zawsze nieujemna.
Suma kwadratów i wartości bezwzględnych jest zawsze nieujemna.
Aby uzyskać wyrażenie, które jest zawsze dodatnie, często wystarczy dodać do wyrażenia nieujemnego liczbę dodatnią.
Trzeba uważać na minusy przed kwadratami i wartościami bezwzględnymi, bo mogą zmienić znak wyrażenia.
Warto próbować upraszczać wyrażenia algebraiczne, żeby łatwiej było stwierdzić, czy są zawsze dodatnie.

To tylko kilka podstawowych przykładów. Istnieją bardziej skomplikowane techniki, które pozwalają analizować bardziej złożone wyrażenia algebraiczne, ale te zasady pomogą Ci zacząć! Pamiętaj, praktyka czyni mistrza! Im więcej będziesz ćwiczyć, tym łatwiej będzie Ci rozpoznawać wyrażenia, które zawsze przyjmują wartość dodatnią.