Korzystając Z Rozwinięć Dziesiętnych Otrzymanych W Zadaniu 1 Znajdź Rozwinięcia

Dobrze, moi drodzy studenci, przejdźmy zatem do sedna sprawy i omówmy szczegółowo, jak, wykorzystując rozwinięcia dziesiętne uzyskane w Zadaniu 1, możemy odnaleźć kolejne rozwinięcia. Podejdźmy do tego systematycznie i z precyzją, aby każdy aspekt był dla Was jasny.

Załóżmy, że w Zadaniu 1 uzyskaliście pewne rozwinięcia dziesiętne. Na przykład, mogło to być rozwinięcie liczby 1/3 jako 0,(3) lub liczby 1/7 jako 0,(142857). Kluczem do efektywnego wykorzystania tych rozwinięć jest zrozumienie, jak operacje arytmetyczne wpływają na rozwinięcia okresowe.

Manipulacje Rozwinięciami Okresowymi

Rozpocznijmy od najprostszych operacji, takich jak mnożenie rozwinięcia przez liczbę całkowitą. Jeśli znamy rozwinięcie dziesiętne ułamka a/b, to rozwinięcie ułamka ka/b (gdzie k jest liczbą całkowitą) uzyskujemy po prostu przez pomnożenie rozwinięcia a/b przez k. Należy przy tym pamiętać o przeniesieniach, które mogą pojawić się, gdy iloczyn danej cyfry rozwinięcia przez k jest większy niż 9.

Przykład: Załóżmy, że z Zadania 1 wiemy, że 1/7 = 0,(142857). Chcemy znaleźć rozwinięcie 2/7. Mnożymy zatem 0,(142857) przez 2. Otrzymujemy:

2 * 1 = 2
2 * 4 = 8
2 * 2 = 4
2 * 8 = 16 (piszemy 6, 1 przenosimy)
2 * 5 = 10 (dodajemy 1, mamy 11, piszemy 1, 1 przenosimy)
2 * 7 = 14 (dodajemy 1, mamy 15, piszemy 5, 1 przenosimy)

Zatem 2/7 = 0,(285714).

Podobnie, możemy postąpić z innymi liczbami całkowitymi. Rozważmy teraz, jak znaleźć rozwinięcie 3/7:

3 * 1 = 3
3 * 4 = 12 (piszemy 2, 1 przenosimy)
3 * 2 = 6 (dodajemy 1, mamy 7)
3 * 8 = 24 (piszemy 4, 2 przenosimy)
3 * 5 = 15 (dodajemy 2, mamy 17, piszemy 7, 1 przenosimy)
3 * 7 = 21 (dodajemy 1, mamy 22, piszemy 2, 2 przenosimy, co daje nam na początku okresu 0.42...)

Zatem 3/7 = 0,(428571).

Kluczowe jest, aby pamiętać o przenoszeniach i wykonywać mnożenie cyfra po cyfrze, uwzględniając okresowość rozwinięcia.

Przesunięcia i Dodawanie/Odejmowanie

Kolejną techniką jest wykorzystanie przesunięć dziesiętnych. Jeśli znamy rozwinięcie 1/7 = 0,(142857), to możemy łatwo znaleźć rozwinięcie 10/7. Po prostu przesuwamy przecinek o jedno miejsce w prawo, co daje nam 1,(428571). Generalnie, mnożenie przez 10^n powoduje przesunięcie przecinka o n miejsc w prawo.

Rozważmy teraz dodawanie i odejmowanie rozwinięć. Załóżmy, że znamy rozwinięcia 1/3 = 0,(3) i 1/6 = 0,1(6). Chcemy znaleźć rozwinięcie 1/3 + 1/6 = 1/2. Dodajemy:

0,(3)

0,1(6) = 0,4(9) = 0,5

Należy zauważyć, że 0,4(9) jest równoważne 0,5. To wynika z faktu, że 0,(9) = 1.

Podobne podejście stosujemy przy odejmowaniu. Załóżmy, że chcemy znaleźć rozwinięcie 1/3 - 1/6:

0,(3)

0,1(6)

Tutaj musimy pożyczyć od kolejnych cyfr. Możemy zapisać 0,(3) jako 0,33333... i 0,1(6) jako 0,16666... Zatem:

0,33333...

0,16666... = 0,16666... = 0,1(6)

Co jest poprawne, ponieważ 1/3 - 1/6 = 1/6.

Ułamki Złożone i Konwersja

Rozważmy teraz ułamki złożone. Załóżmy, że chcemy znaleźć rozwinięcie 5/14. Możemy to zapisać jako (5/2) * (1/7). Znamy rozwinięcie 1/7 = 0,(142857). 5/2 to 2,5. Zatem:

2,5 * 0,(142857) = 2,5 * (0,142857142857...)

Aby to obliczyć, możemy najpierw pomnożyć przez 2, a potem dodać połowę rozwinięcia 1/7:

2 * 0,(142857) = 0,(285714) 0,5 * 0,(142857) = 0,0714285... (połowa 142857 to w przybliżeniu 71428.5, ale musimy pamiętać o okresie)

Dodając te rozwinięcia:

0,(285714) +0,0714285... = 0,3571425...

Zatem 5/14 = 0,357142... (w rzeczywistości 0,35(714285)).

Kluczowe jest, aby umieć rozłożyć dany ułamek na prostsze składniki, których rozwinięcia już znamy z Zadania 1.

<h2>Rozwinięcia Dziesiętne i Dzielenie Pisemne</h2>

Choć skupiamy się na wykorzystaniu wyników z Zadania 1, warto przypomnieć, że rozwinięcie dziesiętne dowolnego ułamka a/b możemy znaleźć, wykonując dzielenie pisemne. Dzielimy a przez b, a reszty z kolejnych dzieleń wskazują nam na powtarzający się okres rozwinięcia. Jeśli reszta się powtórzy, oznacza to, że rozwinięcie będzie okresowe.

Przykład: Znajdźmy rozwinięcie 1/13. Wykonujemy dzielenie pisemne:

1 : 13 = 0,... 10 : 13 = 0,... (reszta 10) 100 : 13 = 7,... (reszta 9) 90 : 13 = 6,... (reszta 12) 120 : 13 = 9,... (reszta 3) 30 : 13 = 2,... (reszta 4) 40 : 13 = 3,... (reszta 1) 10 : 13 = 0,... (reszta 10 - powtarza się!)

Zatem 1/13 = 0,(076923).

Ta metoda jest zawsze skuteczna, choć może być czasochłonna dla ułamków o długich okresach.

<h2>Wykorzystanie Tożsamości Algebraicznych</h2>

Możemy również wykorzystać tożsamości algebraiczne, aby ułatwić obliczenia. Na przykład, jeśli znamy rozwinięcie 1/9 = 0,(1), to możemy znaleźć rozwinięcie 2/9, 3/9, itd. Bezpośrednio mnożąc. Dodatkowo możemy zauważyć, że 1/9 = 1/10 + 1/90 = 1/10 + 1/10 * 1/9. Może to być przydatne w manipulowaniu bardziej skomplikowanymi ułamkami.

Podsumowując, aby efektywnie wykorzystać rozwinięcia dziesiętne uzyskane w Zadaniu 1, należy:

Zrozumieć, jak mnożenie przez liczbę całkowitą wpływa na rozwinięcie.
Umieć wykorzystywać przesunięcia dziesiętne (mnożenie przez potęgi 10).
Sprawnie dodawać i odejmować rozwinięcia okresowe, pamiętając o przeniesieniach i pożyczkach.
Rozkładać ułamki złożone na prostsze składniki, których rozwinięcia już znamy.
W razie potrzeby, umieć znaleźć rozwinięcie za pomocą dzielenia pisemnego.

Pamiętajcie, praktyka czyni mistrza. Im więcej przykładów przeanalizujecie, tym lepiej zrozumiecie te techniki i będziecie mogli sprawnie operować rozwinięciami dziesiętnymi. Powodzenia!