Korzystając Z Rozwinięć Dziesiętnych Otrzymanych W Zadaniu 1

Dobrze, spróbujmy wyjaśnić, jak korzystać z rozwinięć dziesiętnych uzyskanych w zadaniu 1, w prosty i zrozumiały sposób. Załóżmy, że w zadaniu 1 obliczyliśmy rozwinięcia dziesiętne kilku ułamków. Teraz pokażę, jak te rozwinięcia można wykorzystać.

Rozwinięcia dziesiętne ułamków pozwalają nam na łatwiejsze porównywanie liczb, wykonywanie przybliżonych obliczeń i zrozumienie, jak dana liczba zachowuje się w systemie dziesiętnym.

Wyobraź sobie, że masz dwa ułamki, na przykład 1/3 i 2/5. Być może na pierwszy rzut oka trudno stwierdzić, który z nich jest większy. Ale jeśli znamy ich rozwinięcia dziesiętne, sprawa staje się prostsza.

Załóżmy, że w zadaniu 1 obliczyliśmy, że:

1/3 = 0,3333… (rozwinięcie nieskończone okresowe)
2/5 = 0,4

Teraz widzimy od razu, że 0,4 jest większe od 0,3333… Czyli 2/5 jest większe od 1/3. Patrzymy na kolejne cyfry po przecinku, aż znajdziemy różnicę.

Inny przykład: Załóżmy, że chcemy porównać 7/11 i 5/8. Załóżmy, że w zadaniu 1 obliczyliśmy:

7/11 = 0,636363… (rozwinięcie nieskończone okresowe)
5/8 = 0,625

W tym przypadku, pierwsze cyfry po przecinku są takie same (0,6), więc musimy porównać kolejne. Widzimy, że druga cyfra w rozwinięciu 7/11 to 3, a w rozwinięciu 5/8 to 2. Ponieważ 3 jest większe od 2, to 7/11 jest większe od 5/8.

Przybliżone Obliczenia

Rozwinięcia dziesiętne są bardzo przydatne do wykonywania przybliżonych obliczeń. Załóżmy, że mamy wyrażenie 1/7 + 2/9 i chcemy obliczyć jego wartość w przybliżeniu do dwóch miejsc po przecinku.

Załóżmy, że w zadaniu 1 obliczyliśmy:

1/7 = 0,142857…
2/9 = 0,222222…

Teraz możemy przybliżyć te ułamki do dwóch miejsc po przecinku:

1/7 ≈ 0,14
2/9 ≈ 0,22

Następnie dodajemy te przybliżone wartości:

0,14 + 0,22 = 0,36

Zatem 1/7 + 2/9 ≈ 0,36. Im więcej miejsc po przecinku weźmiemy pod uwagę przy przybliżaniu, tym dokładniejszy będzie wynik.

Załóżmy, że chcemy obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (3/13) * (5/6) do trzech miejsc po przecinku.

Załóżmy, że w zadaniu 1 obliczyliśmy:

3/13 = 0,230769…
5/6 = 0,833333…

Przybliżamy do trzech miejsc po przecinku:

3/13 ≈ 0,231 (zauważ, że zaokrąglamy 0,2307 do 0,231)
5/6 ≈ 0,833

Mnożymy te przybliżone wartości:

0,231 * 0,833 ≈ 0,192

Zatem (3/13) * (5/6) ≈ 0,192.

Możemy też wykorzystać rozwinięcia dziesiętne do szacowania wartości pierwiastków kwadratowych. Na przykład, jeśli chcemy oszacować pierwiastek kwadratowy z 2 (√2), możemy użyć metody kolejnych przybliżeń, posługując się rozwinięciami dziesiętnymi. Wiemy, że √2 leży między 1 a 2, ponieważ 1² = 1, a 2² = 4. Następnie możemy sprawdzić 1,5² = 2,25, co jest większe niż 2. Zatem √2 leży między 1 a 1,5. Dalej możemy spróbować 1,4² = 1,96, co jest mniejsze niż 2. Zatem √2 leży między 1,4 a 1,5. Kontynuując ten proces, możemy uzyskiwać coraz dokładniejsze przybliżenia, używając rozwinięć dziesiętnych.

Zrozumienie Struktury Liczby

Rozwinięcie dziesiętne pozwala nam zrozumieć, jak dana liczba jest zbudowana. Na przykład, spójrzmy na liczbę 3,1415926535… (przybliżenie liczby π). Widzimy, że liczba ta składa się z:

3 jednostek
1 dziesiątej (0,1)
4 setnych (0,04)
1 tysięcznej (0,001)
5 dziesięciotysięcznych (0,0005)
itd.

Każda cyfra po przecinku reprezentuje ułamek, którego mianownik jest potęgą liczby 10. Im dalej cyfra znajduje się od przecinka, tym mniejszy jest jej wkład w całą wartość liczby.

Podobnie, możemy analizować rozwinięcia dziesiętne ułamków, aby zrozumieć ich zachowanie. Na przykład, jeśli widzimy, że rozwinięcie dziesiętne ułamka jest nieskończone okresowe, to wiemy, że ułamek ten jest liczbą wymierną (dającą się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych). Jeżeli rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe, to liczba jest niewymierna (na przykład √2 lub π).

Załóżmy, że mamy rozwinięcie dziesiętne liczby, które zaczyna się od 0,9999… Zauważmy, że to rozwinięcie bardzo "zbliża się" do 1. W rzeczywistości, dowodzi się, że 0,9999… = 1. To jest przykład, jak rozwinięcie dziesiętne może nam pomóc zrozumieć subtelne własności liczb.

Kolejny przykład: załóżmy, że mamy rozwinięcie dziesiętne liczby 0,1234567891011121314… Widzimy, że to rozwinięcie jest nieskończone i nieokresowe. Oznacza to, że ta liczba jest liczbą niewymierną. Konstrukcja tego rozwinięcia polega na dopisywaniu kolejnych liczb naturalnych.

Podsumowując, rozwinięcia dziesiętne uzyskane w zadaniu 1 (i w ogóle rozwinięcia dziesiętne dowolnych liczb) są bardzo przydatnym narzędziem do: