Korzystając Z Podanych Rozkładów Na Czynniki Pierwsze Oblicz

Hej uczniowie! Porozmawiajmy dzisiaj o czymś, co może na początku wydawać się skomplikowane, ale w rzeczywistości jest całkiem proste, gdy już zrozumiecie podstawy. Chodzi o obliczenia na podstawie rozkładów liczb na czynniki pierwsze. Konkretnie, zajmiemy się sytuacjami, gdzie te rozkłady są nam już podane, a naszym zadaniem jest coś z nimi zrobić – najczęściej obliczyć NWD (Największy Wspólny Dzielnik) lub NWW (Najmniejszą Wspólną Wielokrotność).

Wyobraźcie sobie, że macie klocki Lego. Każda liczba to budowla zbudowana z tych klocków, a czynniki pierwsze to poszczególne rodzaje klocków, z których ta budowla powstała. Rozkład na czynniki pierwsze to informacja, ile klocków każdego rodzaju użyto do zbudowania danej budowli.

Załóżmy, że mamy dwie liczby, A i B. Wiemy, że:

A = 2 * 2 * 3 * 5 (czyli 2² * 3 * 5) B = 2 * 3 * 3 * 7 (czyli 2 * 3² * 7)

Chcemy obliczyć NWD (Największy Wspólny Dzielnik) tych liczb, czyli największą liczbę, która dzieli zarówno A, jak i B bez reszty. Innymi słowy, szukamy "największej wspólnej budowli", którą można zbudować używając tylko klocków, które znajdują się zarówno w zestawie A, jak i w zestawie B.

Patrzymy na czynniki pierwsze:

Liczba 2 występuje w A dwa razy, a w B raz. Bierzemy mniejszą liczbę wystąpień, czyli raz. Zatem w NWD będzie 2.
Liczba 3 występuje w A raz, a w B dwa razy. Bierzemy mniejszą liczbę wystąpień, czyli raz. Zatem w NWD będzie 3.
Liczba 5 występuje tylko w A, więc nie bierzemy jej do NWD.
Liczba 7 występuje tylko w B, więc nie bierzemy jej do NWD.

NWD(A, B) = 2 * 3 = 6

Teraz obliczmy NWW (Najmniejszą Wspólną Wielokrotność) tych liczb, czyli najmniejszą liczbę, która jest podzielna zarówno przez A, jak i przez B. Innymi słowy, szukamy "najmniejszej budowli", którą możemy zbudować używając wszystkich klocków z zestawu A i zestawu B, ale tak, żeby można było z niej zbudować zarówno budowlę A, jak i budowlę B.

Patrzymy na czynniki pierwsze:

Liczba 2 występuje w A dwa razy, a w B raz. Bierzemy większą liczbę wystąpień, czyli dwa razy. Zatem w NWW będzie 2².
Liczba 3 występuje w A raz, a w B dwa razy. Bierzemy większą liczbę wystąpień, czyli dwa razy. Zatem w NWW będzie 3².
Liczba 5 występuje w A. Bierzemy ją do NWW.
Liczba 7 występuje w B. Bierzemy ją do NWW.

NWW(A, B) = 2² * 3² * 5 * 7 = 4 * 9 * 5 * 7 = 1260

Spróbujmy jeszcze jednego przykładu. Załóżmy, że mamy:

C = 2 * 5 * 11 D = 3 * 5 * 7

Obliczamy NWD(C, D):

Liczba 2 występuje tylko w C.
Liczba 3 występuje tylko w D.
Liczba 5 występuje w obu liczbach, raz w każdej. Bierzemy ją.
Liczby 7 i 11 występują tylko w jednej z liczb.

NWD(C, D) = 5

Obliczamy NWW(C, D):

Liczba 2 występuje w C. Bierzemy ją.
Liczba 3 występuje w D. Bierzemy ją.
Liczba 5 występuje w obu liczbach. Bierzemy ją (raz).
Liczba 7 występuje w D. Bierzemy ją.
Liczba 11 występuje w C. Bierzemy ją.

NWW(C, D) = 2 * 3 * 5 * 7 * 11 = 2310

Trochę bardziej skomplikowane przykłady

Czasem rozkłady na czynniki pierwsze są zapisane w bardziej zwarty sposób, np. z użyciem potęg. To niczego nie zmienia w naszym sposobie postępowania.

Załóżmy, że mamy:

E = 2³ * 3 * 5² F = 2 * 3² * 7

Obliczamy NWD(E, F):

Liczba 2 występuje w E trzy razy, a w F raz. Bierzemy mniejszą liczbę wystąpień, czyli raz.
Liczba 3 występuje w E raz, a w F dwa razy. Bierzemy mniejszą liczbę wystąpień, czyli raz.
Liczba 5 występuje tylko w E.
Liczba 7 występuje tylko w F.

NWD(E, F) = 2 * 3 = 6

Obliczamy NWW(E, F):

Liczba 2 występuje w E trzy razy, a w F raz. Bierzemy większą liczbę wystąpień, czyli trzy razy.
Liczba 3 występuje w E raz, a w F dwa razy. Bierzemy większą liczbę wystąpień, czyli dwa razy.
Liczba 5 występuje w E dwa razy.
Liczba 7 występuje w F raz.

NWW(E, F) = 2³ * 3² * 5² * 7 = 8 * 9 * 25 * 7 = 12600

Kluczem do sukcesu jest po prostu uważne porównywanie rozkładów na czynniki pierwsze i wybieranie odpowiednich potęg dla NWD i NWW. Pamiętajcie, że dla NWD bierzemy mniejsze potęgi wspólnych czynników, a dla NWW bierzemy większe potęgi wszystkich czynników, występujących w obu liczbach.

Jeszcze jeden przykład, żeby utrwalić:

G = 2² * 5 * 13 H = 3 * 7 * 11

Obliczamy NWD(G, H):

Żaden z czynników pierwszych nie występuje w obu liczbach.

NWD(G, H) = 1 (bo każda liczba dzieli się przez 1)

Obliczamy NWW(G, H):

Bierzemy wszystkie czynniki z G i H.

NWW(G, H) = 2² * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 = 60060

W tym przypadku, ponieważ liczby nie mają wspólnych czynników pierwszych (poza 1), ich NWD wynosi 1, a NWW to po prostu iloczyn tych dwóch liczb.

Mam nadzieję, że te przykłady pomogły Wam lepiej zrozumieć, jak obliczać NWD i NWW, korzystając z podanych rozkładów na czynniki pierwsze. Pamiętajcie, że praktyka czyni mistrza, więc spróbujcie rozwiązać więcej zadań tego typu, a zobaczycie, że to wcale nie jest takie trudne! Powodzenia!