Korzystając Z Definicji Granicy Ciągu Wykaż że Liczba

Aby wykazać, korzystając z definicji granicy ciągu, że liczba g jest granicą ciągu (a<sub>n</sub>), musimy pokazać, że dla każdego ε > 0 istnieje liczba naturalna N taka, że dla wszystkich n > N zachodzi |a<sub>n</sub> - g| < ε.

Pokażemy to na konkretnych przykładach.

Przykład 1: Wykazanie, że granica ciągu 1/n wynosi 0

Chcemy wykazać, że lim (n→∞) 1/n = 0. Oznacza to, że musimy pokazać, że dla każdego ε > 0 istnieje N ∈ ℕ takie, że dla wszystkich n > N zachodzi |1/n - 0| < ε.

Rozważmy nierówność |1/n - 0| < ε. Ponieważ n jest liczbą naturalną, 1/n jest zawsze dodatnie, więc możemy uprościć nierówność do 1/n < ε.

Przekształcając tę nierówność, otrzymujemy n > 1/ε.

Teraz musimy znaleźć liczbę naturalną N, która spełnia warunek n > N dla wszystkich n > 1/ε. Wybieramy N jako najmniejszą liczbę naturalną większą od 1/ε. Możemy zapisać N = ⌈1/ε⌉, gdzie ⌈x⌉ oznacza sufit liczby x (najmniejszą liczbę całkowitą nie mniejszą niż x).

Wtedy, dla każdego n > N, mamy n > ⌈1/ε⌉ ≥ 1/ε. Zatem 1/n < ε, co oznacza |1/n - 0| < ε.

Udowodniliśmy więc, że dla każdego ε > 0 istnieje N ∈ ℕ takie, że dla wszystkich n > N zachodzi |1/n - 0| < ε. Z definicji granicy ciągu wynika, że lim (n→∞) 1/n = 0.

Przykład 2: Wykazanie, że granica ciągu (2n+1)/n wynosi 2

Chcemy wykazać, że lim (n→∞) (2n+1)/n = 2. Musimy więc pokazać, że dla każdego ε > 0 istnieje N ∈ ℕ takie, że dla wszystkich n > N zachodzi |(2n+1)/n - 2| < ε.

Rozważmy nierówność |(2n+1)/n - 2| < ε. Upraszczając wyrażenie w wartości bezwzględnej, otrzymujemy:

|(2n+1)/n - 2| = |(2n+1 - 2n)/n| = |1/n| = 1/n.

Zatem musimy pokazać, że dla każdego ε > 0 istnieje N ∈ ℕ takie, że dla wszystkich n > N zachodzi 1/n < ε.

Dokładnie taką nierówność mieliśmy w poprzednim przykładzie. Wiemy już, że możemy wybrać N = ⌈1/ε⌉.

Wtedy, dla każdego n > N, mamy n > ⌈1/ε⌉ ≥ 1/ε. Zatem 1/n < ε, co oznacza |(2n+1)/n - 2| < ε.

Udowodniliśmy więc, że dla każdego ε > 0 istnieje N ∈ ℕ takie, że dla wszystkich n > N zachodzi |(2n+1)/n - 2| < ε. Z definicji granicy ciągu wynika, że lim (n→∞) (2n+1)/n = 2.

Trudniejsze Przykłady

Przykład 3: Wykazanie, że granica ciągu (n+1)/(2n+3) wynosi 1/2

Chcemy wykazać, że lim (n→∞) (n+1)/(2n+3) = 1/2. Musimy więc pokazać, że dla każdego ε > 0 istnieje N ∈ ℕ takie, że dla wszystkich n > N zachodzi |(n+1)/(2n+3) - 1/2| < ε.

Rozważmy nierówność |(n+1)/(2n+3) - 1/2| < ε. Upraszczając wyrażenie w wartości bezwzględnej, otrzymujemy:

|(n+1)/(2n+3) - 1/2| = |(2(n+1) - (2n+3))/(2(2n+3))| = |(2n+2 - 2n - 3)/(4n+6)| = |-1/(4n+6)| = 1/(4n+6).

Zatem musimy pokazać, że dla każdego ε > 0 istnieje N ∈ ℕ takie, że dla wszystkich n > N zachodzi 1/(4n+6) < ε.

Przekształcając tę nierówność, otrzymujemy:

4n+6 > 1/ε 4n > 1/ε - 6 n > (1/ε - 6)/4

Teraz musimy znaleźć liczbę naturalną N, która spełnia warunek n > N dla wszystkich n > (1/ε - 6)/4. Wybieramy N jako najmniejszą liczbę naturalną większą od (1/ε - 6)/4. Możemy zapisać N = ⌈(1/ε - 6)/4⌉.

Wtedy, dla każdego n > N, mamy n > ⌈(1/ε - 6)/4⌉ ≥ (1/ε - 6)/4. Zatem 4n > 1/ε - 6, co implikuje 4n+6 > 1/ε, a stąd 1/(4n+6) < ε. Czyli |(n+1)/(2n+3) - 1/2| < ε.

Udowodniliśmy więc, że dla każdego ε > 0 istnieje N ∈ ℕ takie, że dla wszystkich n > N zachodzi |(n+1)/(2n+3) - 1/2| < ε. Z definicji granicy ciągu wynika, że lim (n→∞) (n+1)/(2n+3) = 1/2.

Przykład 4: Wykazanie, że granica ciągu (n^2+1)/(2n^2+3) wynosi 1/2

Chcemy wykazać, że lim (n→∞) (n^2+1)/(2n^2+3) = 1/2. Musimy więc pokazać, że dla każdego ε > 0 istnieje N ∈ ℕ takie, że dla wszystkich n > N zachodzi |(n^2+1)/(2n^2+3) - 1/2| < ε.

Rozważmy nierówność |(n^2+1)/(2n^2+3) - 1/2| < ε. Upraszczając wyrażenie w wartości bezwzględnej, otrzymujemy:

|(n^2+1)/(2n^2+3) - 1/2| = |(2(n^2+1) - (2n^2+3))/(2(2n^2+3))| = |(2n^2+2 - 2n^2 - 3)/(4n^2+6)| = |-1/(4n^2+6)| = 1/(4n^2+6).

Zatem musimy pokazać, że dla każdego ε > 0 istnieje N ∈ ℕ takie, że dla wszystkich n > N zachodzi 1/(4n^2+6) < ε.

Przekształcając tę nierówność, otrzymujemy:

4n^2+6 > 1/ε 4n^2 > 1/ε - 6 n^2 > (1/ε - 6)/4 n > √( (1/ε - 6)/4 )

Teraz musimy znaleźć liczbę naturalną N, która spełnia warunek n > N dla wszystkich n > √( (1/ε - 6)/4 ). Wybieramy N jako najmniejszą liczbę naturalną większą od √( (1/ε - 6)/4 ). Możemy zapisać N = ⌈√( (1/ε - 6)/4 )⌉.

Wtedy, dla każdego n > N, mamy n > ⌈√( (1/ε - 6)/4 )⌉ ≥ √( (1/ε - 6)/4 ). Zatem n^2 > (1/ε - 6)/4, co implikuje 4n^2 > 1/ε - 6, a stąd 4n^2+6 > 1/ε. Zatem 1/(4n^2+6) < ε. Czyli |(n^2+1)/(2n^2+3) - 1/2| < ε.

Udowodniliśmy więc, że dla każdego ε > 0 istnieje N ∈ ℕ takie, że dla wszystkich n > N zachodzi |(n^2+1)/(2n^2+3) - 1/2| < ε. Z definicji granicy ciągu wynika, że lim (n→∞) (n^2+1)/(2n^2+3) = 1/2.

Wykazując granice ciągu za pomocą definicji, kluczowym krokiem jest znalezienie odpowiedniej wartości N w zależności od danego ε. Wymaga to manipulacji algebraicznych i zrozumienia własności nierówności. Im bardziej skomplikowany ciąg, tym trudniejsze może być znalezienie odpowiedniego N.