Jednym Z Miejsc Zerowych Funkcji Kwadratowej F Jest Liczba 5

Funkcja kwadratowa, znana również jako trójmian kwadratowy, to jedno z podstawowych pojęć w matematyce. Jej ogólna postać to f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b i c są stałymi, a 'a' jest różne od zera. Zrozumienie jej własności, takich jak miejsca zerowe, wierzchołek i kierunek ramion paraboli, jest kluczowe dla rozwiązywania wielu problemów matematycznych i fizycznych. Skupimy się na sytuacji, gdy jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba 5. Co to oznacza i jak możemy to wykorzystać?

Wiemy, że jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba 5. Oznacza to, że f(5) = 0. Podstawiając x = 5 do ogólnego wzoru funkcji kwadratowej, otrzymujemy:

a(5)² + b(5) + c = 0 25a + 5b + c = 0

To równanie dostarcza nam ważnej informacji, która pozwala nam powiązać współczynniki a, b i c funkcji kwadratowej. Nie znamy konkretnych wartości a, b i c, ale wiemy, że muszą spełniać tę zależność. W zależności od tego, jakie dodatkowe informacje posiadamy, możemy próbować wyznaczyć konkretne wartości tych współczynników lub przynajmniej je oszacować.

Załóżmy, że dodatkowo wiemy, że funkcja f(x) ma wierzchołek w punkcie W = (p, q). Wierzchołek paraboli, będący wykresem funkcji kwadratowej, to punkt, w którym funkcja osiąga swoje ekstremum (minimum lub maksimum). Współrzędna x wierzchołka, oznaczana jako 'p', jest dana wzorem p = -b / 2a.

Jeśli znamy 'p', możemy wyznaczyć 'b' w zależności od 'a': b = -2ap.

Podstawiając to do równania 25a + 5b + c = 0, otrzymujemy:

25a + 5(-2ap) + c = 0 25a - 10ap + c = 0 c = 10ap - 25a c = a(10p - 25)

Teraz mamy 'b' i 'c' wyrażone za pomocą 'a' i 'p'. Ponieważ znamy 'p' (współrzędną x wierzchołka) i wiemy, że 5 jest miejscem zerowym, możemy skorzystać z własności symetrii paraboli. Odległość od wierzchołka do miejsca zerowego jest taka sama jak od wierzchołka do drugiego miejsca zerowego.

Niech x₁ = 5 będzie jednym miejscem zerowym, a x₂ drugim. Wtedy:

p - x₁ = x₂ - p x₂ = 2p - x₁ x₂ = 2p - 5

Zatem drugie miejsce zerowe funkcji kwadratowej to 2p - 5. Jeżeli znamy współrzędną x wierzchołka, to możemy natychmiast wyznaczyć drugie miejsce zerowe.

Przykłady i Zastosowania

Rozważmy kilka przykładów, aby lepiej zrozumieć, jak wykorzystać te informacje.

Przykład 1:

Załóżmy, że jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest 5, a wierzchołek znajduje się w punkcie W = (3, -2). Zatem p = 3.

Zatem drugie miejsce zerowe to x₂ = 2p - 5 = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1.

Czyli funkcja ma miejsca zerowe w punktach x₁ = 5 i x₂ = 1. Możemy zapisać funkcję w postaci iloczynowej:

f(x) = a(x - 5)(x - 1)

Aby wyznaczyć 'a', korzystamy z informacji o wierzchołku W = (3, -2). Podstawiając x = 3 do powyższego wzoru, otrzymujemy:

f(3) = a(3 - 5)(3 - 1) = a(-2)(2) = -4a

Wiemy, że f(3) = -2, więc:

-4a = -2 a = 1/2

Zatem funkcja kwadratowa ma postać:

f(x) = (1/2)(x - 5)(x - 1) = (1/2)(x² - 6x + 5) = (1/2)x² - 3x + 5/2

Przykład 2:

Załóżmy, że jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest 5, a wierzchołek znajduje się na osi OY. Oznacza to, że współrzędna x wierzchołka wynosi 0, czyli p = 0.

Zatem drugie miejsce zerowe to x₂ = 2p - 5 = 2(0) - 5 = -5.

Czyli funkcja ma miejsca zerowe w punktach x₁ = 5 i x₂ = -5. Możemy zapisać funkcję w postaci iloczynowej:

f(x) = a(x - 5)(x + 5) = a(x² - 25)

W tym przypadku wierzchołek znajduje się w punkcie (0, -25a). Aby jednoznacznie określić funkcję, potrzebujemy dodatkowej informacji, np. wartości funkcji w innym punkcie.

Przykład 3:

Załóżmy, że jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest 5 i że funkcja przechodzi przez punkt (0, 10).

Mamy f(x) = a(x - 5)(x - x₂), gdzie x₂ to drugie miejsce zerowe. Wiemy, że f(0) = 10. Zatem:

10 = a(0 - 5)(0 - x₂) = a(-5)(-x₂) = 5ax₂

Stąd 2 = ax₂. Nie możemy bezpośrednio wyznaczyć 'a' i 'x₂', ale wiemy, że ich iloczyn wynosi 2. Potrzebujemy dodatkowej informacji, aby rozwiązać ten problem. Na przykład, gdyby podano nam współrzędną x wierzchołka, moglibyśmy wyznaczyć x₂ = 2p - 5, a następnie a = 2/x₂.

Zastosowanie w Zadaniach

Zrozumienie zależności między miejscami zerowymi, wierzchołkiem i współczynnikami funkcji kwadratowej jest niezwykle przydatne w rozwiązywaniu różnorodnych zadań. Często zadania wymagają wyznaczenia wzoru funkcji, znając pewne informacje o jej miejscach zerowych, wierzchołku lub wartości w określonych punktach. Znając jedno miejsce zerowe równe 5, możemy wykorzystać powyższe zależności, aby zredukować liczbę niewiadomych i uprościć proces rozwiązywania.

Na przykład, zadanie może brzmieć: "Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f, wiedząc, że jednym z jej miejsc zerowych jest 5, a osią symetrii jej wykresu jest prosta x = 2." Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej przechodzi przez wierzchołek, więc znamy współrzędną x wierzchołka, czyli p = 2. Zatem drugie miejsce zerowe to x₂ = 2p - 5 = 2(2) - 5 = -1. Mamy więc miejsca zerowe 5 i -1. Funkcję możemy zapisać w postaci f(x) = a(x - 5)(x + 1). Potrzebujemy jeszcze jednej informacji, aby wyznaczyć 'a'. Jeżeli dodatkowo wiemy, że f(0) = -5, to -5 = a(-5)(1), co daje a = 1. Zatem f(x) = (x - 5)(x + 1) = x² - 4x - 5.

Podsumowując, wiedza o tym, że jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej jest liczba 5, w połączeniu z innymi informacjami, takimi jak wierzchołek, wartość funkcji w punkcie lub oś symetrii, pozwala na efektywne rozwiązywanie problemów związanych z funkcjami kwadratowymi. Kluczowe jest zrozumienie zależności między tymi elementami i umiejętne wykorzystanie wzorów oraz własności paraboli.