Jedna Z Przyprostokątnych Trojkąta Prostokątnego Jest Trzy Razy

Okej, rozumiem. Oto artykuł na temat trójkątów prostokątnych, w którym jedna z przyprostokątnych jest trzy razy dłuższa od drugiej. Postaram się wszystko wytłumaczyć prostym językiem.

Zacznijmy od początku. Wyobraź sobie trójkąt. Ale nie byle jaki trójkąt! Mówimy o trójkącie prostokątnym. Co to znaczy? To znaczy, że jeden z jego kątów jest kątem prostym, czyli ma 90 stopni. Możesz go zobaczyć np. w rogu kartki papieru.

W trójkącie prostokątnym mamy trzy boki. Dwa z nich tworzą ten kąt prosty. Te boki nazywamy przyprostokątnymi. Trzeci bok, ten najdłuższy, który leży naprzeciwko kąta prostego, nazywamy przeciwprostokątną.

No dobrze, to teraz załóżmy, że mamy taki trójkąt prostokątny, w którym jedna z przyprostokątnych jest trzy razy dłuższa od drugiej. To znaczy, że jeśli krótsza przyprostokątna ma długość, powiedzmy, "a", to dłuższa przyprostokątna ma długość "3a".

Co możemy z tym zrobić? Dużo! Przede wszystkim, możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej. Jak? Korzystając z twierdzenia Pitagorasa. To jest bardzo ważne twierdzenie, które mówi, że w każdym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Brzmi strasznie? Spokojnie!

W naszym przypadku to oznacza, że:

a² + (3a)² = c²

Gdzie "c" to długość przeciwprostokątnej.

Teraz to uprośćmy. (3a)² to po prostu 3a pomnożone przez 3a, czyli 9a². Więc mamy:

a² + 9a² = c²

a² + 9a² to 10a². Czyli:

10a² = c²

Żeby obliczyć "c", musimy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z obu stron równania:

√(10a²) = √c²

√c² to po prostu "c". A √(10a²) to √(10) * √(a²) = √(10) * a.

Czyli:

c = a√10

Oznacza to, że długość przeciwprostokątnej jest równa długości krótszej przyprostokątnej pomnożonej przez pierwiastek z 10. Jeśli więc krótsza przyprostokątna ma długość 2 cm, to przeciwprostokątna ma długość 2√10 cm. Około 6.32 cm.

Możemy również obliczyć pole takiego trójkąta. Pole trójkąta to połowa iloczynu długości podstawy i wysokości. W trójkącie prostokątnym możemy przyjąć, że jedna przyprostokątna jest podstawą, a druga wysokością. Czyli pole naszego trójkąta to:

P = (1/2) * a * 3a

P = (3/2) * a²

Czyli, jeśli krótsza przyprostokątna ma długość 4 cm, to pole trójkąta wynosi (3/2) * 4² = (3/2) * 16 = 24 cm².

Kąty w trójkącie

Wiemy już, że jeden z kątów w naszym trójkącie ma 90 stopni. Ale co z pozostałymi dwoma kątami? Suma wszystkich kątów w trójkącie wynosi zawsze 180 stopni. Skoro jeden kąt ma 90 stopni, to suma pozostałych dwóch musi wynosić również 90 stopni.

Żeby obliczyć te kąty, potrzebujemy trochę więcej matematyki, a konkretnie funkcji trygonometrycznych, takich jak sinus (sin), cosinus (cos) i tangens (tan). Wykorzystamy tangens, bo najłatwiej go zastosować mając długości przyprostokątnych.

Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie.

Niech α (alfa) będzie kątem leżącym naprzeciwko krótszej przyprostokątnej (a). Wtedy:

tan(α) = a / (3a) = 1/3

Żeby obliczyć kąt α, musimy użyć funkcji arcus tangens (arctan) lub inaczej tangens odwrotny (tan⁻¹):

α = arctan(1/3)

Kalkulator pokaże nam, że α ≈ 18.43 stopnia.

Teraz możemy obliczyć drugi kąt, nazwijmy go β (beta). Wiemy, że α + β = 90 stopni. Więc:

β = 90 - α = 90 - 18.43 = 71.57 stopnia.

Czyli w naszym trójkącie prostokątnym, w którym jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej, mamy kąty: 90 stopni, około 18.43 stopnia i około 71.57 stopnia.

Możemy to sprawdzić dodając wszystkie kąty: 90 + 18.43 + 71.57 = 180 stopni. Wszystko się zgadza!

Podsumowanie

Podsumowując, jeśli mamy trójkąt prostokątny, w którym jedna z przyprostokątnych jest trzy razy dłuższa od drugiej, możemy obliczyć:

• Długość przeciwprostokątnej (c = a√10, gdzie "a" to długość krótszej przyprostokątnej)
• Pole trójkąta (P = (3/2) * a²)
• Miary kątów ostrych (około 18.43 stopnia i około 71.57 stopnia)

Pamiętaj, że twierdzenie Pitagorasa jest kluczowe do obliczania długości boków w trójkącie prostokątnym! A funkcje trygonometryczne (tangens, arcus tangens) pomagają obliczyć miary kątów.

Mam nadzieję, że to wszystko jest zrozumiałe. Powodzenia w rozwiązywaniu zadań z trójkątami prostokątnymi!

Pamiętaj, że matematyka może być fajna, jeśli podchodzisz do niej spokojnie i krok po kroku. Jeśli masz jakieś pytania, zawsze pytaj!