Jak Sprawdzić Czy Punkty Leżą Na Jednej Płaszczyźnie

Okej, oto artykuł tłumaczący, jak sprawdzić, czy punkty leżą na jednej płaszczyźnie, napisany w prosty sposób, bez zbędnych tłumaczeń, w języku polskim:

Wyobraź sobie, że masz kilka punktów w przestrzeni trójwymiarowej. Chcesz się upewnić, czy wszystkie te punkty "leżą płasko", czyli czy da się je umieścić na jednej płaszczyźnie. Jest kilka sposobów, żeby to sprawdzić.

Metoda z wykorzystaniem wektorów

Najprostsza metoda opiera się na obliczeniu wektorów i sprawdzeniu ich współliniowości. Potrzebujemy co najmniej trzech punktów, żeby w ogóle mówić o płaszczyźnie. Załóżmy, że mamy cztery punkty: A, B, C i D.

1. Wybierz trzy punkty i stwórz wektory: Wybierz dowolne trzy punkty, na przykład A, B i C. Z tych punktów stwórz dwa wektory. Najprościej jest "zacząć" oba wektory w tym samym punkcie, np. A. Wtedy mamy wektor AB i wektor AC. Żeby obliczyć współrzędne wektora, odejmujemy współrzędne punktu początkowego od współrzędnych punktu końcowego. Czyli, jeśli A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) i C = (x3, y3, z3), to:

   • AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
   • AC = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1)

2. Oblicz iloczyn wektorowy: Teraz oblicz iloczyn wektorowy wektorów AB i AC. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów daje w wyniku wektor prostopadły do obu wektorów wejściowych. Oznaczmy go jako N (wektor normalny). Jeśli AB = (u1, u2, u3) i AC = (v1, v2, v3), to:

   N = AB x AC = (u2 * v3 - u3 * v2, u3 * v1 - u1 * v3, u1 * v2 - u2 * v1)

3. Stwórz wektor z czwartego punktu: Teraz weź czwarty punkt, D = (x4, y4, z4), i stwórz wektor AD:

   AD = (x4 - x1, y4 - y1, z4 - z1)

4. Oblicz iloczyn skalarny: Oblicz iloczyn skalarny wektora AD i wektora normalnego N. Jeśli wynik iloczynu skalarnego wynosi zero, to znaczy, że wektor AD jest prostopadły do wektora normalnego N. A to oznacza, że punkt D leży na tej samej płaszczyźnie co punkty A, B i C. Jeśli N = (n1, n2, n3) i AD = (w1, w2, w3), to:

   N ⋅ AD = n1 * w1 + n2 * w2 + n3 * w3

   Jeśli N ⋅ AD = 0, to punkty A, B, C i D leżą na jednej płaszczyźnie.

Przykład

Załóżmy, że mamy punkty A = (1, 1, 1), B = (2, 3, 1), C = (1, 2, 2) i D = (3, 4, 3).

1. Wektory AB i AC:

   • AB = (2-1, 3-1, 1-1) = (1, 2, 0)
   • AC = (1-1, 2-1, 2-1) = (0, 1, 1)

2. Iloczyn wektorowy N:

   • N = (21 - 01, 00 - 11, 11 - 20) = (2, -1, 1)

3. Wektor AD:

   • AD = (3-1, 4-1, 3-1) = (2, 3, 2)

4. Iloczyn skalarny N ⋅ AD:

   • N ⋅ AD = 2*2 + (-1)3 + 12 = 4 - 3 + 2 = 3

Ponieważ iloczyn skalarny wynosi 3 (różne od zera), punkty A, B, C i D nie leżą na jednej płaszczyźnie.

Ważne uwagi

• Wybór punktów: Wybór punktów A, B i C jest dowolny. Możesz wybrać dowolne trzy punkty spośród wszystkich punktów, które masz. Ważne jest, żeby wektory, które tworzysz, nie były równoległe (współliniowe), bo wtedy iloczyn wektorowy da wektor zerowy, co uniemożliwi sprawdzenie.
• Więcej niż cztery punkty: Jeśli masz więcej niż cztery punkty, musisz sprawdzić, czy każdy kolejny punkt leży na płaszczyźnie zdefiniowanej przez pierwsze trzy punkty. Czyli, po znalezieniu wektora normalnego N i sprawdzeniu, czy punkt D leży na płaszczyźnie, bierzesz kolejny punkt E i sprawdzasz, czy N ⋅ AE = 0. Powtarzasz to dla każdego punktu.
• Błąd zaokrągleń: W obliczeniach komputerowych (np. w programach graficznych) często mamy do czynienia z liczbami zmiennoprzecinkowymi, które są zaokrąglane. Z tego powodu iloczyn skalarny może nie wyjść dokładnie zero, nawet jeśli teoretycznie punkty leżą na jednej płaszczyźnie. Dlatego, zamiast sprawdzać, czy wynik jest równy zero, sprawdzamy, czy jest "bliski zera" (np. czy jego wartość bezwzględna jest mniejsza od jakiejś małej wartości, np. 0.00001).
• Alternatywne metody: Istnieją inne metody, np. użycie wyznacznika macierzy utworzonej ze współrzędnych punktów. Jeśli wyznacznik tej macierzy jest równy zero, to punkty leżą na jednej płaszczyźnie. Ta metoda jest bardziej zwarta, ale może być trudniejsza do zrozumienia na początku.

Co jeśli punkty leżą w przestrzeni dwuwymiarowej?

Jeśli punkty leżą w przestrzeni dwuwymiarowej (czyli wszystkie mają współrzędną z równą zero, albo w ogóle nie mamy współrzędnej z), to sprawdzenie, czy leżą na jednej linii (a nie płaszczyźnie), jest znacznie prostsze. Wtedy wystarczy sprawdzić, czy wektory utworzone z tych punktów są równoległe (współliniowe). Można to zrobić np. sprawdzając, czy stosunek ich współrzędnych jest taki sam. Na przykład, jeśli mamy punkty A = (x1, y1), B = (x2, y2) i C = (x3, y3), to tworzymy wektory AB = (x2-x1, y2-y1) i AC = (x3-x1, y3-y1). Wektory są równoległe, jeśli (x2-x1) / (x3-x1) = (y2-y1) / (y3-y1). Trzeba uważać na dzielenie przez zero!

Mam nadzieję, że to wyjaśnienie jest zrozumiałe. W razie czego, pytaj śmiało!