Jak Się Sprowadza Do Wspólnego Mianownika W Dodawaniu

Aby poprawnie dodawać ułamki, często musimy najpierw sprowadzić je do wspólnego mianownika. Ten proces pozwala na dodanie "kawałków" tego samego rozmiaru, co jest kluczowe dla uzyskania poprawnego wyniku. Zobaczmy, jak to zrobić krok po kroku.

Zacznijmy od przykładu: chcemy dodać ułamki 1/4 i 1/6. Widzimy, że mianowniki (czyli liczby znajdujące się na dole ułamka) są różne: 4 i 6. Musimy znaleźć taką liczbę, która jest podzielna zarówno przez 4, jak i przez 6.

Znajdowanie Wspólnego Mianownika

Najprostszym sposobem na znalezienie wspólnego mianownika jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (NWW) mianowników. Można to zrobić na kilka sposobów.

Metoda wypisywania wielokrotności: Wypisujemy wielokrotności każdego z mianowników, aż znajdziemy wspólną liczbę.
- Wielokrotności 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24...
- Wielokrotności 6: 6, 12, 18, 24, 30...
Widzimy, że najmniejszą wspólną wielokrotnością 4 i 6 jest 12.
Rozkład na czynniki pierwsze: Rozkładamy każdy mianownik na czynniki pierwsze.
- 4 = 2 x 2
- 6 = 2 x 3
Wspólny mianownik tworzymy, biorąc każdy czynnik pierwszy występujący w rozkładach, w najwyższej potędze, w jakiej występuje. W naszym przypadku mamy: 2 x 2 x 3 = 12.

Oczywiście, można wybrać jakąkolwiek wspólną wielokrotność, ale użycie NWW upraszcza dalsze obliczenia, ponieważ otrzymujemy mniejsze liczby w ułamkach. W tym przypadku nasz wspólny mianownik to 12.

Przekształcanie Ułamków

Teraz musimy przekształcić ułamki 1/4 i 1/6 tak, aby miały mianownik 12. Robimy to, mnożąc zarówno licznik (górną część ułamka), jak i mianownik każdego ułamka przez odpowiednią liczbę.

Dla ułamka 1/4: Zastanawiamy się, przez jaką liczbę musimy pomnożyć 4, aby otrzymać 12. Odpowiedź to 3. Zatem mnożymy licznik i mianownik przez 3:

(1 x 3) / (4 x 3) = 3/12
Dla ułamka 1/6: Zastanawiamy się, przez jaką liczbę musimy pomnożyć 6, aby otrzymać 12. Odpowiedź to 2. Zatem mnożymy licznik i mianownik przez 2:

(1 x 2) / (6 x 2) = 2/12

Teraz mamy dwa ułamki: 3/12 i 2/12. Mają one ten sam mianownik, więc możemy je dodać.

Dodawanie Ułamków

Kiedy ułamki mają już wspólny mianownik, możemy je dodać, dodając liczniki i pozostawiając mianownik bez zmian.

3/12 + 2/12 = (3 + 2) / 12 = 5/12

Zatem 1/4 + 1/6 = 5/12

Inny Przykład: Ułamki Mieszane i Większe Liczby

Załóżmy, że chcemy dodać 2 1/3 i 1 2/5. Najpierw musimy przekształcić ułamki mieszane na ułamki niewłaściwe.

2 1/3 = (2 x 3 + 1) / 3 = 7/3
1 2/5 = (1 x 5 + 2) / 5 = 7/5

Teraz musimy znaleźć wspólny mianownik dla 3 i 5. Ponieważ 3 i 5 są liczbami pierwszymi, ich NWW jest po prostu ich iloczynem: 3 x 5 = 15.

Przekształcamy 7/3: (7 x 5) / (3 x 5) = 35/15
Przekształcamy 7/5: (7 x 3) / (5 x 3) = 21/15

Dodajemy ułamki: 35/15 + 21/15 = (35 + 21) / 15 = 56/15

Teraz możemy przekształcić ułamek niewłaściwy 56/15 z powrotem na ułamek mieszany: 56 dzielimy przez 15. Otrzymujemy 3 i resztę 11. Zatem 56/15 = 3 11/15.

Zatem 2 1/3 + 1 2/5 = 3 11/15.

Sprowadzanie do Wspólnego Mianownika Trzech Ułamków

Proces ten rozszerza się na więcej niż dwa ułamki. Załóżmy, że chcemy dodać 1/2, 1/3 i 1/4.

Znajdowanie Wspólnego Mianownika: Szukamy NWW liczb 2, 3 i 4.
- Wielokrotności 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12...
- Wielokrotności 3: 3, 6, 9, 12, 15...
- Wielokrotności 4: 4, 8, 12, 16...
NWW wynosi 12.
Przekształcanie Ułamków: Przekształcamy każdy ułamek tak, aby miał mianownik 12.
- 1/2 = (1 x 6) / (2 x 6) = 6/12
- 1/3 = (1 x 4) / (3 x 4) = 4/12
- 1/4 = (1 x 3) / (4 x 3) = 3/12
Dodawanie Ułamków: Dodajemy liczniki i pozostawiamy mianownik bez zmian.

6/12 + 4/12 + 3/12 = (6 + 4 + 3) / 12 = 13/12
Uproszczenie (jeśli to konieczne): Ułamek 13/12 jest ułamkiem niewłaściwym. Możemy go przekształcić na ułamek mieszany: 13/12 = 1 1/12.

Zatem 1/2 + 1/3 + 1/4 = 1 1/12.

Pamiętaj, że kluczem do sukcesu jest dokładne znajdowanie wspólnego mianownika i staranne przekształcanie ułamków. Im więcej ćwiczysz, tym łatwiej i szybciej będziesz wykonywać te operacje. Regularne powtarzanie i praca z różnymi przykładami pomogą Ci opanować tę umiejętność. Powodzenia!