Jak Obliczyć Pole Całkowite Graniastosłupa Prawidłowego Sześciokątnego

Dobrze, postaram się odpowiedzieć na pytanie o obliczanie pola całkowitego graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego w sposób najbardziej szczegółowy i dokładny, unikając zbędnych wstępów i tabel, oraz zachowując odpowiednią strukturę i długość tekstu.

Zatem przejdźmy od razu do konkretów. Obliczenie pola całkowitego graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wymaga znajomości kilku kluczowych parametrów i zastosowania odpowiednich wzorów. Pole całkowite, oznaczane zazwyczaj jako Pc, jest sumą pól wszystkich ścian graniastosłupa, czyli dwóch identycznych podstaw (Pp) oraz powierzchni bocznej (Pb). Matematycznie zapisujemy to jako:

Pc = 2 * Pp + Pb

Zajmijmy się najpierw obliczeniem pola podstawy (Pp). Ponieważ mamy do czynienia z graniastosłupem prawidłowym sześciokątnym, jego podstawa jest sześciokątem foremnym. Sześciokąt foremny składa się z sześciu identycznych trójkątów równobocznych. Aby obliczyć pole takiego sześciokąta, musimy znać długość jego boku, oznaczmy ją jako 'a'. Pole jednego trójkąta równobocznego o boku 'a' wyraża się wzorem:

Pole trójkąta = (a² * √3) / 4

Ponieważ sześciokąt foremny składa się z sześciu takich trójkątów, pole podstawy (Pp) graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego obliczamy następująco:

Pp = 6 * (a² * √3) / 4 = (3 * a² * √3) / 2

Teraz przejdźmy do obliczenia pola powierzchni bocznej (Pb). Powierzchnia boczna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego składa się z sześciu prostokątów, każdy o identycznych wymiarach. Jeden bok prostokąta jest równy długości boku podstawy (a), a drugi bok jest równy wysokości graniastosłupa, oznaczmy ją jako 'h'. Zatem pole jednego prostokąta wynosi:

Pole prostokąta = a * h

Ponieważ mamy sześć takich prostokątów, pole powierzchni bocznej (Pb) obliczamy następująco:

Pb = 6 * a * h

Mając obliczone pole podstawy (Pp) i pole powierzchni bocznej (Pb), możemy w końcu obliczyć pole całkowite (Pc) graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, podstawiając uzyskane wyniki do wzoru początkowego:

Pc = 2 * Pp + Pb = 2 * ((3 * a² * √3) / 2) + 6 * a * h = 3 * a² * √3 + 6 * a * h

Ostatecznie, wzór na pole całkowite graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wygląda następująco:

Pc = 3 * a² * √3 + 6 * a * h

gdzie: a - długość boku podstawy (sześciokąta foremnego) h - wysokość graniastosłupa

Przykładowe obliczenia

Aby jeszcze lepiej zrozumieć ten proces, przeanalizujmy kilka przykładów.

Przykład 1:

Załóżmy, że mamy graniastosłup prawidłowy sześciokątny, w którym długość boku podstawy (a) wynosi 5 cm, a wysokość graniastosłupa (h) wynosi 10 cm. Obliczmy jego pole całkowite (Pc).

Pp = (3 * 5² * √3) / 2 = (3 * 25 * √3) / 2 = (75 * √3) / 2 ≈ 64.95 cm²

Pb = 6 * 5 * 10 = 300 cm²

Pc = 2 * 64.95 + 300 = 129.9 + 300 = 429.9 cm²

Zatem pole całkowite tego graniastosłupa wynosi około 429.9 cm².

Przykład 2:

Załóżmy teraz, że mamy graniastosłup, gdzie a = 8 cm i h = 15 cm.

Pp = (3 * 8² * √3) / 2 = (3 * 64 * √3) / 2 = (192 * √3) / 2 = 96√3 ≈ 166.28 cm²

Pb = 6 * 8 * 15 = 720 cm²

Pc = 2 * 166.28 + 720 = 332.56 + 720 = 1052.56 cm²

W tym przypadku pole całkowite graniastosłupa wynosi około 1052.56 cm².

Przykład 3:

Dla graniastosłupa o a = 3 cm i h = 7 cm:

Pp = (3 * 3² * √3) / 2 = (3 * 9 * √3) / 2 = (27 * √3) / 2 ≈ 23.38 cm²

Pb = 6 * 3 * 7 = 126 cm²

Pc = 2 * 23.38 + 126 = 46.76 + 126 = 172.76 cm²

Pole całkowite to około 172.76 cm².

Dodatkowe uwagi i warianty

Warto pamiętać, że w zadaniach mogą wystąpić warianty, w których nie podano bezpośrednio długości boku podstawy 'a' lub wysokości 'h', ale podano inne informacje, które pozwalają na ich wyliczenie. Na przykład, może być podane pole podstawy, z którego można wyliczyć bok 'a', lub długość przekątnej sześciokąta foremnego, która jest powiązana z bokiem 'a'.

W przypadku przekątnej sześciokąta foremnego, długość dłuższej przekątnej (przechodzącej przez środek sześciokąta i łączącej przeciwległe wierzchołki) jest równa 2a, natomiast krótsza przekątna (łącząca wierzchołki oddzielone jednym wierzchołkiem) ma długość a√3. Znając długość którejkolwiek z tych przekątnych, możemy wyliczyć długość boku 'a'.

Jeśli natomiast znamy pole podstawy (Pp), możemy wyliczyć bok 'a' ze wzoru:

Pp = (3 * a² * √3) / 2

a² = (2 * Pp) / (3 * √3)

a = √((2 * Pp) / (3 * √3))

Po wyliczeniu 'a', możemy kontynuować obliczenia tak, jak opisano wcześniej.

Podsumowując, obliczenie pola całkowitego graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wymaga zrozumienia geometrii sześciokąta foremnego i umiejętności posługiwania się wzorami. Kluczowe jest dokładne obliczenie pola podstawy i pola powierzchni bocznej, a następnie zsumowanie ich, uwzględniając, że mamy dwie identyczne podstawy. W przypadku zadań, w których nie podano bezpośrednio długości boku podstawy lub wysokości graniastosłupa, należy wykorzystać podane informacje do wyliczenia tych parametrów, a następnie postępować zgodnie z opisanym schematem. Pamiętaj, aby dokładnie analizować treść zadania i identyfikować wszystkie dostępne dane, które mogą być przydatne w obliczeniach. Precyzyjne obliczenia i znajomość wzorów to klucz do sukcesu w rozwiązywaniu tego typu problemów.