Jak Obliczyć Długość Przeciwprostokątnej W Trójkącie Prostokątnym

Dzień dobry wszystkim! Często pytacie mnie, jak obliczyć długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym. Postaram się to wytłumaczyć jak najprościej, żebyście zrozumieli. To naprawdę nic trudnego!

Zacznijmy od podstaw. Co to jest trójkąt prostokątny i co to jest przeciwprostokątna? Trójkąt prostokątny, to taki trójkąt, który ma jeden kąt prosty, czyli kąt o mierze 90 stopni. Przeciwprostokątna to najdłuższy bok w tym trójkącie i zawsze leży naprzeciwko kąta prostego. Pozostałe dwa boki nazywamy przyprostokątnymi.

Żeby obliczyć długość przeciwprostokątnej, używamy twierdzenia Pitagorasa. To jest klucz do sukcesu! Twierdzenie Pitagorasa mówi nam, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Brzmi strasznie? Zaraz to rozłożymy na czynniki pierwsze.

Wzór na twierdzenie Pitagorasa wygląda tak:

a² + b² = c²

Gdzie:

• a i b to długości przyprostokątnych
• c to długość przeciwprostokątnej (to właśnie chcemy obliczyć)

Przykłady Obliczeń

Teraz, żeby to wszystko było bardziej jasne, przejdźmy do kilku przykładów.

Przykład 1:

Załóżmy, że mamy trójkąt prostokątny, w którym jedna przyprostokątna (a) ma długość 3 cm, a druga przyprostokątna (b) ma długość 4 cm. Jak obliczyć długość przeciwprostokątnej (c)?

1. Podstawiamy wartości do wzoru:

   3² + 4² = c²

2. Obliczamy kwadraty:

   9 + 16 = c²

3. Dodajemy:

   25 = c²

4. Wyciągamy pierwiastek kwadratowy z obu stron:

   √25 = √c²

5. Otrzymujemy:

   5 = c

Zatem, długość przeciwprostokątnej wynosi 5 cm. Proste, prawda?

Przykład 2:

Teraz trochę trudniejszy przykład. Powiedzmy, że przyprostokątne mają długości 5 cm i 12 cm.

1. Podstawiamy do wzoru:

   5² + 12² = c²

2. Obliczamy kwadraty:

   25 + 144 = c²

3. Dodajemy:

   169 = c²

4. Wyciągamy pierwiastek:

   √169 = √c²

5. Wynik:

   13 = c

Długość przeciwprostokątnej wynosi 13 cm.

Przykład 3:

Jeden jeszcze, żeby utrwalić. Przyprostokątne mają długości 8 cm i 15 cm.

1. Wstawiamy do wzoru:

   8² + 15² = c²

2. Liczymy kwadraty:

   64 + 225 = c²

3. Sumujemy:

   289 = c²

4. Pierwiastek:

   √289 = √c²

5. Dostajemy:

   17 = c

Więc długość przeciwprostokątnej to 17 cm.

Co zrobić, gdy znamy długość przeciwprostokątnej i jednej przyprostokątnej?

Czasami sytuacja jest odwrócona. Znamy długość przeciwprostokątnej (c) i jednej z przyprostokątnych (powiedzmy a), a musimy obliczyć długość drugiej przyprostokątnej (b). Wtedy przekształcamy wzór Pitagorasa.

Wyjściowy wzór: a² + b² = c²

Chcemy wyliczyć b², więc odejmujemy a² od obu stron:

b² = c² - a²

A następnie wyciągamy pierwiastek kwadratowy:

b = √(c² - a²)

Przykład:

Załóżmy, że przeciwprostokątna ma długość 10 cm, a jedna z przyprostokątnych ma długość 6 cm. Obliczmy długość drugiej przyprostokątnej.

1. Podstawiamy:

   b = √(10² - 6²)

2. Obliczamy kwadraty:

   b = √(100 - 36)

3. Odejmujemy:

   b = √64

4. Wyciągamy pierwiastek:

   b = 8

Druga przyprostokątna ma długość 8 cm.

Jak Zapamiętać Wzór?

Najlepiej po prostu ćwiczyć! Im więcej zadań rozwiążecie, tym łatwiej zapamiętacie wzór i sposób jego użycia. Można też sobie wyobrazić, że rysujemy kwadraty na każdym boku trójkąta. Suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. To taka wizualizacja, która może pomóc.

Praktyczne Zastosowania

Twierdzenie Pitagorasa ma wiele praktycznych zastosowań. Używamy go na przykład w budownictwie, żeby upewnić się, że ściany są proste i budynki stoją pionowo. Wykorzystują go również geodeci do pomiarów terenowych. Można go użyć do obliczenia długości drabiny potrzebnej do sięgnięcia do okna na określonej wysokości, jeśli znamy odległość ściany od podstawy drabiny. Zatem, jak widzicie, to nie tylko sucha teoria, ale coś, co naprawdę przydaje się w życiu.

Mam nadzieję, że teraz już wiecie, jak obliczyć długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym. Pamiętajcie, że najważniejsze to ćwiczyć i nie bać się zadawać pytań. Powodzenia!