Ilustracją Graficzną Zbioru Rozwiązań Nierówności Jest Przedział

Okej, spróbujmy wytłumaczyć, dlaczego zbiór rozwiązań nierówności często przedstawia się graficznie jako przedział.

Wyobraź sobie prostą oś liczbową. Na tej osi zaznaczasz liczby. Kropka reprezentuje konkretną liczbę, np. 3, -2, albo 0. Teraz pomyśl o nierówności. Nierówność to stwierdzenie, które mówi, że coś jest większe, mniejsze, większe lub równe, albo mniejsze lub równe od czegoś innego.

Weźmy prosty przykład: x > 2 (czytaj: x jest większe od 2). Jakie liczby spełniają tę nierówność? No wszystkie te, które są większe od 2! Czyli 2.000001, 2.1, 3, 100, 1000, i tak dalej w nieskończoność. Na osi liczbowej, wszystkie te liczby znajdują się po prawej stronie liczby 2.

Ale jak to zaznaczyć? Nie możemy przecież zaznaczyć każdej pojedynczej liczby. Właśnie dlatego używamy przedziału. Przedział to po prostu fragment osi liczbowej. W naszym przykładzie, przedział będzie się zaczynał tuż za liczbą 2 (bo 2 sama w sobie nie spełnia nierówności x > 2) i będzie ciągnął się w nieskończoność w prawo.

Aby to zaznaczyć graficznie, robimy kółeczko (puste) nad liczbą 2, które oznacza, że ta liczba nie należy do przedziału. Następnie rysujemy grubą linię w prawo od tego kółeczka, aż do samego końca osi liczbowej (często zaznaczamy to strzałką). To właśnie jest graficzna reprezentacja przedziału (2, +∞). Nawias okrągły przy 2 oznacza, że 2 nie należy do przedziału, a +∞ (plus nieskończoność) oznacza, że przedział ciągnie się bez końca w prawo.

Teraz przykład z "mniejsze niż": x < 5 (czytaj: x jest mniejsze od 5). Jakie liczby spełniają tę nierówność? Wszystkie te, które są mniejsze od 5! Czyli 4.999999, 4.8, 0, -1, -10, -100, i tak dalej w nieskończoność w lewo. Na osi liczbowej, wszystkie te liczby znajdują się po lewej stronie liczby 5.

Znowu, rysujemy kółeczko (puste) nad liczbą 5, bo 5 sama w sobie nie spełnia nierówności x < 5. Rysujemy grubą linię w lewo od tego kółeczka, aż do samego końca osi liczbowej (strzałka). To jest graficzna reprezentacja przedziału (-∞, 5). Nawias okrągły przy 5 oznacza, że 5 nie należy do przedziału, a -∞ (minus nieskończoność) oznacza, że przedział ciągnie się bez końca w lewo.

Co jeśli mamy nierówność z "większe lub równe" albo "mniejsze lub równe"? Na przykład, x ≥ 1 (czytaj: x jest większe lub równe 1). W tym przypadku, liczba 1 należy do zbioru rozwiązań. Dlatego, zamiast pustego kółeczka, rysujemy kółeczko zamalowane nad liczbą 1. Następnie rysujemy grubą linię w prawo (bo x ma być większe lub równe 1). To jest graficzna reprezentacja przedziału [1, +∞). Nawias kwadratowy przy 1 oznacza, że 1 należy do przedziału.

Analogicznie, dla nierówności x ≤ -3 (czytaj: x jest mniejsze lub równe -3), rysujemy zamalowane kółeczko nad liczbą -3 i grubą linię w lewo. Graficzna reprezentacja to przedział (-∞, -3].

Przedziały ograniczone

Przedziały nie zawsze muszą ciągnąć się w nieskończoność. Mogą być ograniczone z obu stron. Na przykład, załóżmy, że mamy dwie nierówności: x > 2 i x < 5. Muszą być spełnione obie naraz. Jakie liczby spełniają obie te nierówności? No wszystkie te, które są większe od 2 i jednocześnie mniejsze od 5. Czyli na przykład 3, 3.5, 4, 4.99.

Graficznie, zaznaczamy puste kółeczko nad liczbą 2 (bo x > 2) i puste kółeczko nad liczbą 5 (bo x < 5). Rysujemy grubą linię między tymi dwoma kółeczkami. To jest graficzna reprezentacja przedziału (2, 5). Oznacza to, że wszystkie liczby pomiędzy 2 i 5 (bez 2 i 5 włącznie) są rozwiązaniem układu tych dwóch nierówności.

Podobnie, jeśli mamy nierówności x ≥ -1 i x ≤ 4, to zaznaczamy zamalowane kółeczko nad -1 i zamalowane kółeczko nad 4, a następnie rysujemy grubą linię pomiędzy nimi. To jest graficzna reprezentacja przedziału [-1, 4].

Można też mieć przedziały półotwarte, czyli takie, które z jednej strony są otwarte (nawias okrągły), a z drugiej zamknięte (nawias kwadratowy). Na przykład, x > -2 i x ≤ 3. Wtedy mamy przedział (-2, 3]. Rysujemy puste kółeczko nad -2 i zamalowane kółeczko nad 3, a potem łączymy je grubą linią.

Dlaczego przedział?

Podsumowując, ilustracją graficzną zbioru rozwiązań nierówności jest przedział, ponieważ nierówność określa zakres liczb, które spełniają daną zależność. Ten zakres można łatwo przedstawić jako fragment osi liczbowej – czyli właśnie przedział. Kółeczka (puste lub zamalowane) na końcach przedziału wskazują, czy te konkretne liczby należą do zbioru rozwiązań, czy nie. Linia łącząca te kółeczka reprezentuje wszystkie liczby pomiędzy nimi, które również spełniają nierówność. Przedział pozwala nam wizualnie pokazać wszystkie rozwiązania nierówności w sposób zwięzły i czytelny. Zamiast wypisywać każdą pojedynczą liczbę, pokazujemy cały obszar, który nas interesuje.