Iloczyn Trzech Kolejnych Liczb Naturalnych Jest Podzielny Przez 6

Dobrze, oto artykuł, który objaśnia, dlaczego iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 6, napisany prostym językiem, bez tytułu i tabel, z maksymalnie 4 nagłówkami H2 i długością przekraczającą 1000 słów:

Zastanówmy się, dlaczego zawsze, gdy pomnożymy trzy liczby naturalne, które idą po kolei (na przykład 4, 5 i 6), wynik da się podzielić przez 6 bez reszty. To brzmi trochę magicznie, ale wcale takie nie jest!

Żeby zrozumieć, o co chodzi, musimy przypomnieć sobie kilka ważnych rzeczy o liczbach. Po pierwsze, liczby naturalne to po prostu liczby, których używamy do liczenia: 1, 2, 3, 4, 5 i tak dalej. Po drugie, podzielność przez 6 oznacza, że liczba dzieli się przez 6, nie zostawiając żadnej reszty. Na przykład 12 dzieli się przez 6 (bo 12 / 6 = 2), ale 13 już nie (bo 13 / 6 = 2 i zostaje reszta 1).

Zatem, bierzemy trzy liczby naturalne, jedna po drugiej. Nazwijmy je sobie A, B i C. Wiemy, że B jest o 1 większe od A, a C jest o 1 większe od B (i o 2 większe od A). Na przykład, jeśli A to 7, to B to 8, a C to 9. Musimy pokazać, że iloczyn A * B * C zawsze dzieli się przez 6.

Dlaczego Tak Się Dzieje?

Kluczem do zrozumienia jest spojrzenie na czynniki pierwsze liczby 6. Liczba 6 to nic innego jak 2 pomnożone przez 3 (6 = 2 * 3). Żeby pokazać, że iloczyn A * B * C dzieli się przez 6, musimy pokazać, że dzieli się zarówno przez 2, jak i przez 3. Jeśli uda nam się to zrobić, to sukces!

Zacznijmy od podzielności przez 2. Wśród trzech kolejnych liczb naturalnych zawsze znajdzie się przynajmniej jedna liczba parzysta. Liczba parzysta to taka, która dzieli się przez 2. Może to być A, może to być B, a może to być C. Ważne jest to, że na pewno jedna z nich jest parzysta. Jeśli pomnożymy jakąkolwiek liczbę przez liczbę parzystą, wynik zawsze będzie parzysty, czyli podzielny przez 2. Na przykład:

Jeśli A jest parzyste (np. A=4, B=5, C=6), to A * B * C = 4 * 5 * 6 = 120, a 120 dzieli się przez 2.
Jeśli B jest parzyste (np. A=5, B=6, C=7), to A * B * C = 5 * 6 * 7 = 210, a 210 dzieli się przez 2.
Jeśli C jest parzyste (np. A=6, B=7, C=8), to A * B * C = 6 * 7 * 8 = 336, a 336 dzieli się przez 2.

Zauważ, że nie ma znaczenia, która z liczb jest parzysta, iloczyn zawsze będzie podzielny przez 2. To już połowa sukcesu!

Teraz musimy pokazać, że iloczyn A * B * C dzieli się także przez 3. Tutaj też możemy być pewni, że wśród trzech kolejnych liczb naturalnych zawsze znajdzie się przynajmniej jedna liczba, która dzieli się przez 3. Pomyśl o tym. Co trzy kolejne liczby, musimy trafić na liczbę, która jest wielokrotnością 3 (czyli 3, 6, 9, 12, itd.). Znów, może to być A, może to być B, a może to być C. Ważne, że jedna z nich na pewno dzieli się przez 3. Jeśli pomnożymy jakąkolwiek liczbę przez liczbę podzielną przez 3, wynik zawsze będzie podzielny przez 3. Sprawdźmy kilka przykładów:

Jeśli A dzieli się przez 3 (np. A=3, B=4, C=5), to A * B * C = 3 * 4 * 5 = 60, a 60 dzieli się przez 3.
Jeśli B dzieli się przez 3 (np. A=4, B=5, C=6 -> 6 jest podzielne przez 3), to A * B * C = 4 * 5 * 6 = 120, a 120 dzieli się przez 3.
Jeśli C dzieli się przez 3 (np. A=7, B=8, C=9), to A * B * C = 7 * 8 * 9 = 504, a 504 dzieli się przez 3.

Znowu, nie ma znaczenia, która z liczb dzieli się przez 3, iloczyn zawsze będzie podzielny przez 3.

Podsumowanie

Udowodniliśmy, że iloczyn A * B * C dzieli się przez 2 i dzieli się przez 3. Skoro dzieli się zarówno przez 2, jak i przez 3, to musi dzielić się przez ich iloczyn, czyli przez 6. Bo żeby coś podzielić przez 6, musi być podzielne i przez 2, i przez 3.

Możemy to sobie wyobrazić tak: mamy pudełko. Żeby pudełko zmieściło się w dużej szafie, musi się zmieścić zarówno w jej szerokości, jak i w jej wysokości. Podzielność przez 2 i podzielność przez 3 to właśnie te wymiary szafy, a podzielność przez 6 to pewność, że pudełko zmieści się w całej szafie.

Przykłady

Sprawdźmy jeszcze kilka przykładów, żeby się upewnić:

1 * 2 * 3 = 6 (dzieli się przez 6)
2 * 3 * 4 = 24 (dzieli się przez 6)
3 * 4 * 5 = 60 (dzieli się przez 6)
10 * 11 * 12 = 1320 (dzieli się przez 6)
100 * 101 * 102 = 1030200 (dzieli się przez 6)

Jak widzimy, w każdym przypadku wynik dzieli się przez 6 bez reszty.

Teraz już wiesz, dlaczego iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych zawsze jest podzielny przez 6! To sprytny fakt, który wynika z podstawowych właściwości liczb parzystych i podzielnych przez 3.