Ile Wyrazów Ciągu An 2n 4 N Jest Liczbami Całkowitymi

Rozważmy ciąg arytmetyczny (an) określony wzorem an = 2n + 4/n, gdzie n należy do zbioru liczb naturalnych N. Naszym celem jest ustalenie, dla ilu wartości n, wyrazy ciągu (an) są liczbami całkowitymi. Zauważmy, że aby an było liczbą całkowitą, wyrażenie 2n + 4/n musi dawać liczbę całkowitą.

Skupmy się na składniku 4/n. Aby 4/n było liczbą całkowitą, n musi być dzielnikiem liczby 4. Dzielnikami liczby 4 są: 1, 2, i 4. Zatem, musimy sprawdzić, czy dla n = 1, n = 2 i n = 4, wyrazy ciągu an są liczbami całkowitymi.

Dla n = 1, mamy a1 = 2(1) + 4/1 = 2 + 4 = 6. Zatem a1 jest liczbą całkowitą.

Dla n = 2, mamy a2 = 2(2) + 4/2 = 4 + 2 = 6. Zatem a2 jest liczbą całkowitą.

Dla n = 4, mamy a4 = 2(4) + 4/4 = 8 + 1 = 9. Zatem a4 jest liczbą całkowitą.

Wydaje się, że tylko dla n będących dzielnikami 4 otrzymujemy całkowite wartości ciągu an. Ale czy na pewno?

Spróbujmy podejść do problemu bardziej formalnie. Chcemy, aby 2n + 4/n było liczbą całkowitą. Ponieważ 2n zawsze jest liczbą całkowitą dla n należącego do N, to 4/n musi być liczbą całkowitą. To implikuje, że n musi dzielić 4. Jak już ustaliliśmy, dzielnikami 4 są 1, 2 i 4.

Zatem, mamy trzy wartości n, dla których wyrazy ciągu an są liczbami całkowitymi: n=1, n=2 i n=4.

Możemy to zapisać w następujący sposób:

n = 1: a1 = 2(1) + 4/1 = 6 n = 2: a2 = 2(2) + 4/2 = 6 n = 4: a4 = 2(4) + 4/4 = 9

W każdym z tych przypadków, otrzymujemy liczbę całkowitą.

Analiza ogólna i możliwości uogólnienia

Spróbujmy teraz spojrzeć na problem nieco bardziej ogólnie. Zamiast ciągu an = 2n + 4/n, rozważmy ciąg bm = kn + c/n, gdzie k i c są liczbami całkowitymi. Chcemy znaleźć, dla ilu wartości n, bm jest liczbą całkowitą.

Podobnie jak wcześniej, kn zawsze będzie liczbą całkowitą, więc kluczowe jest, aby c/n było liczbą całkowitą. Oznacza to, że n musi być dzielnikiem c. Zatem, liczba całkowitych wyrazów ciągu bm będzie równa liczbie dzielników liczby c.

Wróćmy do naszego oryginalnego ciągu an = 2n + 4/n. W tym przypadku k = 2 i c = 4. Dzielniki liczby 4 to 1, 2 i 4. Zatem, mamy trzy wartości n, dla których an jest liczbą całkowitą.

Spróbujmy z innym przykładem. Niech ciąg cn = 3n + 6/n. W tym przypadku k = 3 i c = 6. Dzielniki liczby 6 to 1, 2, 3 i 6. Zatem, mamy cztery wartości n, dla których cn jest liczbą całkowitą:

n = 1: c1 = 3(1) + 6/1 = 9 n = 2: c2 = 3(2) + 6/2 = 9 n = 3: c3 = 3(3) + 6/3 = 11 n = 6: c6 = 3(6) + 6/6 = 19

W każdym z tych przypadków, otrzymujemy liczbę całkowitą.

Rozważmy teraz ciąg dn = n + 12/n. W tym przypadku k = 1 i c = 12. Dzielniki liczby 12 to 1, 2, 3, 4, 6 i 12. Zatem, mamy sześć wartości n, dla których dn jest liczbą całkowitą:

n = 1: d1 = 1 + 12/1 = 13 n = 2: d2 = 2 + 12/2 = 8 n = 3: d3 = 3 + 12/3 = 7 n = 4: d4 = 4 + 12/4 = 7 n = 6: d6 = 6 + 12/6 = 8 n = 12: d12 = 12 + 12/12 = 13

W każdym z tych przypadków, otrzymujemy liczbę całkowitą.

Wróćmy do naszego oryginalnego problemu: an = 2n + 4/n. Odkryliśmy, że istnieją trzy wartości n, dla których wyrazy ciągu an są liczbami całkowitymi. Te wartości to n = 1, n = 2 i n = 4.

Dodatkowe uwagi i podsumowanie

Chociaż skoncentrowaliśmy się na ciągu arytmetycznym w postaci an = kn + c/n, warto zauważyć, że podobne problemy można rozwiązywać dla innych typów ciągów. Kluczem jest zidentyfikowanie, które składniki wyrażenia muszą być liczbami całkowitymi, aby cały wyraz ciągu był liczbą całkowitą. Często sprowadza się to do znalezienia dzielników pewnej liczby.

W przypadku naszego oryginalnego ciągu, skoncentrowaliśmy się na warunku, że 4/n musi być liczbą całkowitą. To doprowadziło nas do znalezienia dzielników liczby 4, które to były 1, 2 i 4. Sprawdzenie tych wartości potwierdziło, że dla tych n, wyrazy ciągu an są liczbami całkowitymi.

Podsumowując, dla ciągu an = 2n + 4/n, istnieją trzy wyrazy ciągu, które są liczbami całkowitymi. Są to wyrazy dla n = 1, n = 2 i n = 4.