Ile Jest Ułamków Właściwych Nieskracalnych O Mianowniku 8

Hej klaso! Dziś zajmiemy się ciekawym zagadnieniem związanym z ułamkami. Konkretnie, zastanowimy się, ile jest ułamków właściwych nieskracalnych o mianowniku 8. To brzmi trochę skomplikowanie, ale obiecuję, że rozłożymy to na czynniki pierwsze i wszystko stanie się jasne.

Ułamek właściwy to taki ułamek, w którym licznik jest mniejszy od mianownika. Na przykład, 3/8 to ułamek właściwy, bo 3 jest mniejsze od 8. Z kolei 9/8 to już nie ułamek właściwy, bo 9 jest większe od 8 (jest to ułamek niewłaściwy).

Mamy znaleźć ułamki właściwe nieskracalne o mianowniku 8. Czyli, że licznik musi być mniejszy od mianownika (8), a sam ułamek musi być nieskracalny. Co to znaczy nieskracalny? To znaczy, że nie da się go uprościć, podzielić licznika i mianownika przez tę samą liczbę (inną niż 1), żeby otrzymać prostszy ułamek. Na przykład, ułamek 2/4 jest skracalny, bo możemy podzielić licznik i mianownik przez 2 i otrzymamy 1/2. Ułamek 1/2 jest już nieskracalny.

Zacznijmy od wypisania wszystkich ułamków właściwych o mianowniku 8. Będą to:

1/8, 2/8, 3/8, 4/8, 5/8, 6/8, 7/8.

Teraz musimy sprawdzić, które z tych ułamków są nieskracalne. Pamiętajmy, że szukamy takich, których nie da się uprościć.

1/8: Liczba 1 i 8 nie mają wspólnych dzielników poza 1. Zatem ułamek 1/8 jest nieskracalny.

2/8: Liczby 2 i 8 mają wspólny dzielnik 2. Możemy podzielić licznik i mianownik przez 2, co daje nam 1/4. Zatem ułamek 2/8 jest skracalny.

3/8: Liczby 3 i 8 nie mają wspólnych dzielników poza 1. Zatem ułamek 3/8 jest nieskracalny.

4/8: Liczby 4 i 8 mają wspólny dzielnik 4. Możemy podzielić licznik i mianownik przez 4, co daje nam 1/2. Zatem ułamek 4/8 jest skracalny.

5/8: Liczby 5 i 8 nie mają wspólnych dzielników poza 1. Zatem ułamek 5/8 jest nieskracalny.

6/8: Liczby 6 i 8 mają wspólny dzielnik 2. Możemy podzielić licznik i mianownik przez 2, co daje nam 3/4. Zatem ułamek 6/8 jest skracalny.

7/8: Liczby 7 i 8 nie mają wspólnych dzielników poza 1. Zatem ułamek 7/8 jest nieskracalny.

Zatem, ułamki właściwe nieskracalne o mianowniku 8 to: 1/8, 3/8, 5/8, 7/8.

Policzmy, ile ich jest. Mamy 1/8, 3/8, 5/8 i 7/8. Raz, dwa, trzy, cztery. Jest ich cztery!

Jak To Robimy Szybciej?

Możemy też podejść do tego trochę sprytniej. Zamiast wypisywać wszystkie ułamki i sprawdzać każdy z osobna, możemy zastanowić się, jakie liczby mogą być w liczniku, żeby ułamek był nieskracalny z 8.

Pamiętamy, że mianownik to 8. Rozkładamy 8 na czynniki pierwsze. 8 = 2 * 2 * 2, czyli 8 to 2 do potęgi trzeciej. To oznacza, że jeśli licznik będzie podzielny przez 2, to ułamek będzie skracalny.

Zatem, aby ułamek był nieskracalny z 8, licznik nie może być podzielny przez 2. Czyli, licznik musi być liczbą nieparzystą.

Jakie liczby nieparzyste są mniejsze od 8? Są to: 1, 3, 5, 7.

Zatem ułamki właściwe nieskracalne o mianowniku 8 to: 1/8, 3/8, 5/8, 7/8. Dokładnie to samo, co wyliczyliśmy wcześniej!

To jest szybszy sposób, bo nie musimy sprawdzać każdego ułamka z osobna. Wystarczy, że znajdziemy liczby, które nie mają wspólnych dzielników z mianownikiem.

Podsumowując: jest 4 ułamki właściwe nieskracalne o mianowniku 8.

Zastanówmy się, co by było, gdyby mianownik był inny. Na przykład, gdyby mianownik był 12. Ile byłoby ułamków właściwych nieskracalnych o mianowniku 12?

Najpierw wypisujemy wszystkie ułamki właściwe o mianowniku 12: 1/12, 2/12, 3/12, 4/12, 5/12, 6/12, 7/12, 8/12, 9/12, 10/12, 11/12.

Teraz musimy znaleźć te, które są nieskracalne.

1/12: Nieskracalny. 2/12: Skracalny (przez 2). 3/12: Skracalny (przez 3). 4/12: Skracalny (przez 4). 5/12: Nieskracalny. 6/12: Skracalny (przez 6). 7/12: Nieskracalny. 8/12: Skracalny (przez 4). 9/12: Skracalny (przez 3). 10/12: Skracalny (przez 2). 11/12: Nieskracalny.

Zatem, ułamki właściwe nieskracalne o mianowniku 12 to: 1/12, 5/12, 7/12, 11/12. Jest ich 4!

Spróbujcie sami, dla innych mianowników. Na przykład, ile jest ułamków właściwych nieskracalnych o mianowniku 15? Albo 20? To dobry sposób, żeby poćwiczyć!

Pamiętajcie, kluczem jest zrozumienie, co to znaczy ułamek właściwy i ułamek nieskracalny. Potem wystarczy już tylko trochę pomyśleć i wszystko staje się jasne! Mam nadzieję, że teraz rozumiecie to zagadnienie dużo lepiej. Jeśli macie jakieś pytania, śmiało pytajcie!