Ile Jest Liczb Trzycyfrowych W Których Zapisie Nie Występuje 0

Istnieją liczby trzycyfrowe, które budzą pewne specyficzne zainteresowanie, a mianowicie te, w których zapisie dziesiętnym nie występuje cyfra zero. Na pierwszy rzut oka, wydawałoby się, że policzenie ich to prosta sprawa. Jednakże, aby to zrobić poprawnie, trzeba podejść do problemu metodycznie i uwzględnić wszystkie możliwe kombinacje cyfr. Spróbujmy zatem rozszyfrować, ile takich liczb istnieje.

Zacznijmy od podstaw. Liczba trzycyfrowa to każda liczba naturalna większa lub równa 100 i mniejsza lub równa 999. Oznacza to, że mamy do dyspozycji trzy pozycje: setki, dziesiątki i jedności. Kluczowym ograniczeniem w naszym zadaniu jest zakaz używania cyfry 0 na jakiejkolwiek z tych pozycji.

Analiza Pozycji Cyfr

Rozważmy każdą pozycję cyfry z osobna.

Setki: Na pozycji setek nie możemy użyć cyfry 0, ponieważ liczba zaczynająca się od 0 nie byłaby trzycyfrowa (np. 045 to liczba dwucyfrowa, czyli 45). Zatem na pozycji setek możemy umieścić jedną z dziewięciu cyfr: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lub 9. Mamy więc 9 możliwości wyboru cyfry na tę pozycję.
Dziesiątki: Podobnie jak na pozycji setek, na pozycji dziesiątek również nie możemy użyć cyfry 0 (zgodnie z warunkami zadania). W związku z tym, na tej pozycji również możemy umieścić jedną z dziewięciu cyfr: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lub 9. Znowu mamy 9 możliwości.
Jedności: I analogicznie, na pozycji jedności także obowiązuje zakaz używania cyfry 0. To oznacza, że na tej pozycji także możemy umieścić jedną z dziewięciu cyfr: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lub 9. Mamy więc 9 możliwości.

Teraz, aby obliczyć całkowitą liczbę możliwych kombinacji, musimy skorzystać z zasady mnożenia. Zasada ta mówi, że jeśli mamy niezależne zdarzenia, to liczba wszystkich możliwych wyników jest iloczynem liczby możliwości dla każdego zdarzenia.

W naszym przypadku mamy trzy niezależne "zdarzenia": wybór cyfry na pozycję setek, wybór cyfry na pozycję dziesiątek i wybór cyfry na pozycję jedności. Każde z tych zdarzeń ma 9 możliwych wyników. Zatem, liczba wszystkich liczb trzycyfrowych, w których zapisie nie występuje cyfra 0, wynosi:

9 (możliwości dla setek) * 9 (możliwości dla dziesiątek) * 9 (możliwości dla jedności) = 729

Oznacza to, że istnieje 729 liczb trzycyfrowych, które spełniają warunek, że w ich zapisie nie występuje cyfra 0.

Przykłady Liczb Spełniających Warunek

Aby lepiej zobrazować, o jakie liczby chodzi, podajmy kilka przykładów:

Jak widać, każda z tych liczb składa się wyłącznie z cyfr od 1 do 9. Żadna z nich nie zawiera cyfry 0. Zauważmy również, że najmniejszą liczbą spełniającą warunek jest 111, a największą jest 999.

Można także spróbować pomyśleć o liczbach, które nie spełniają warunku. Na przykład:

101 (zawiera 0 na pozycji dziesiątek)
230 (zawiera 0 na pozycji jedności)
300 (zawiera 0 na pozycji dziesiątek i jedności)

Te liczby są wykluczone z naszego zbioru.

Dlaczego to Działa?

Kluczem do zrozumienia, dlaczego nasze rozwiązanie działa, jest zrozumienie zasady mnożenia. Wyobraźmy sobie, że budujemy te liczby krok po kroku. Najpierw wybieramy cyfrę na setki. Mamy 9 możliwości. Następnie, dla każdej z tych 9 możliwości, wybieramy cyfrę na dziesiątki. Znowu mamy 9 możliwości. To daje nam już 9 * 9 = 81 różnych "początków" liczb trzycyfrowych (np. 11, 12, 13, ..., 97, 98, 99). Wreszcie, dla każdego z tych 81 "początków", wybieramy cyfrę na jedności. I znowu mamy 9 możliwości. Ostatecznie, otrzymujemy 81 * 9 = 729 różnych liczb.

Inny sposób myślenia o tym to wyobrażenie sobie drzewa. Na pierwszym poziomie drzewa mamy 9 gałęzi reprezentujących cyfry na pozycji setek. Z każdej z tych gałęzi wychodzi kolejne 9 gałęzi reprezentujących cyfry na pozycji dziesiątek. A z każdej z tych gałęzi wychodzi kolejne 9 gałęzi reprezentujących cyfry na pozycji jedności. Liczba wszystkich liści na tym drzewie (czyli liczba wszystkich możliwych liczb trzycyfrowych spełniających warunek) wynosi 9 * 9 * 9 = 729.

Podsumowując, odpowiedź na pytanie, ile jest liczb trzycyfrowych, w których zapisie nie występuje cyfra 0, to 729. Udało nam się to obliczyć, analizując każdą pozycję cyfry z osobna i korzystając z zasady mnożenia. Mam nadzieję, że to wyjaśnienie było jasne i pomocne!