Ile Jest Liczb Pięciocyfrowych W Których Zapisie Występują Tylko Cyfry

Drodzy uczniowie, bardzo dobrze, że zadajecie tak wnikliwe pytania. Pytanie o ilość liczb pięciocyfrowych, w których zapisie występują tylko określone cyfry, jest doskonałym przykładem problemu kombinatorycznego. Spróbuję przedstawić Wam najbardziej szczegółową i dokładną analizę tego zagadnienia.

Zacznijmy od podstaw. Liczba pięciocyfrowa ma postać ABCDE, gdzie A, B, C, D i E oznaczają cyfry. Kluczowe jest zrozumienie, jakie ograniczenia nakładają na nas poszczególne warunki zadania.

Analiza Ogólna

Pierwsza sprawa, cyfra A (czyli pierwsza cyfra od lewej) nie może być zerem. To jest fundamentalne. Jeśli A byłoby zerem, mielibyśmy liczbę czterocyfrową, a nie pięciocyfrową. Reszta cyfr (B, C, D, E) może przyjmować wartość zero, jeśli oczywiście należy ona do zestawu dopuszczalnych cyfr.

Załóżmy, że mamy do dyspozycji pewien zbiór cyfr, z których możemy budować nasze liczby. Nazwijmy ten zbiór S. Teraz rozważmy kilka scenariuszy w zależności od tego, jakie cyfry zawiera zbiór S.

Scenariusze w zależności od liczby dostępnych cyfr

1. S zawiera tylko jedną cyfrę (np. S = {1})

   W tym przypadku mamy tylko jedną możliwą liczbę: 11111. Proste, prawda? Jeśli S = {0}, to nie możemy utworzyć żadnej liczby pięciocyfrowej, ponieważ pierwsza cyfra nie może być zerem.

2. S zawiera dwie cyfry (np. S = {1, 2})

   Tutaj zaczyna się robić ciekawiej. Musimy rozważyć, że pierwsza cyfra (A) nie może być zerem, jeśli zero jest elementem S.

   • Jeśli S = {0, 1}: Pierwsza cyfra (A) może być tylko 1. Pozostałe cyfry (B, C, D, E) mogą być 0 lub 1. Zatem mamy 1 możliwość dla A i 2 możliwości dla każdej z pozostałych cyfr. Stąd liczba kombinacji to 1 * 2 * 2 * 2 * 2 = 1 * 2⁴ = 16.

   • Jeśli S = {1, 2}: Każda z cyfr A, B, C, D, E może być 1 lub 2. Zatem mamy 2 możliwości dla każdej cyfry. Stąd liczba kombinacji to 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2⁵ = 32.

3. S zawiera trzy cyfry (np. S = {1, 2, 3})

   Analogicznie, jeśli S nie zawiera zera, każda z cyfr A, B, C, D, E może przyjmować dowolną z tych trzech wartości. Zatem mamy 3⁵ = 243 możliwości.

   • Jeśli S = {0, 1, 2}: Pierwsza cyfra (A) może być 1 lub 2 (2 możliwości). Pozostałe cyfry (B, C, D, E) mogą być 0, 1 lub 2 (3 możliwości). Stąd liczba kombinacji to 2 * 3 * 3 * 3 * 3 = 2 * 3⁴ = 2 * 81 = 162.

4. S zawiera cztery cyfry (np. S = {1, 2, 3, 4})

   Jeśli S nie zawiera zera, mamy 4⁵ = 1024 możliwości.

   • Jeśli S = {0, 1, 2, 3}: Pierwsza cyfra (A) może być 1, 2 lub 3 (3 możliwości). Pozostałe cyfry (B, C, D, E) mogą być 0, 1, 2 lub 3 (4 możliwości). Stąd liczba kombinacji to 3 * 4 * 4 * 4 * 4 = 3 * 4⁴ = 3 * 256 = 768.

5. S zawiera pięć cyfr (np. S = {1, 2, 3, 4, 5})

   Jeśli S nie zawiera zera, mamy 5⁵ = 3125 możliwości.

   • Jeśli S = {0, 1, 2, 3, 4}: Pierwsza cyfra (A) może być 1, 2, 3 lub 4 (4 możliwości). Pozostałe cyfry (B, C, D, E) mogą być 0, 1, 2, 3 lub 4 (5 możliwości). Stąd liczba kombinacji to 4 * 5 * 5 * 5 * 5 = 4 * 5⁴ = 4 * 625 = 2500.

6. S zawiera dziewięć cyfr i nie zawiera zera (np. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9})

Mamy 9⁵ = 59049 możliwości.

7. S zawiera dziesięć cyfr (S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9})

Pierwsza cyfra (A) może być dowolną cyfrą od 1 do 9 (9 możliwości). Pozostałe cyfry (B, C, D, E) mogą być dowolną cyfrą od 0 do 9 (10 możliwości). Stąd liczba kombinacji to 9 * 10 * 10 * 10 * 10 = 9 * 10⁴ = 90000. To jest liczba wszystkich liczb pięciocyfrowych.

Uwaga na powtórzenia

Ważne jest, aby pamiętać, że w powyższych wyliczeniach zakładamy, że możemy powtarzać cyfry. Jeśli warunkiem byłoby, że cyfry nie mogą się powtarzać, sytuacja staje się znacznie bardziej skomplikowana i wymagałaby użycia kombinacji bez powtórzeń, a także uwzględnienia tego, czy zero jest dopuszczalne, czy nie.

Szczegółowa Analiza Przypadku Ogólnego

Załóżmy, że nasz zbiór S składa się z n cyfr. Chcemy obliczyć liczbę liczb pięciocyfrowych, które można utworzyć używając tylko cyfr z tego zbioru.

1. Jeśli 0 ∉ S (zero nie należy do S):

   Wtedy każda z pięciu cyfr może przyjmować n wartości. Zatem liczba możliwych liczb pięciocyfrowych wynosi n⁵.

2. Jeśli 0 ∈ S (zero należy do S):

   Wtedy pierwsza cyfra (A) może przyjmować n-1 wartości (bo nie może być zerem). Pozostałe cztery cyfry mogą przyjmować n wartości każda. Zatem liczba możliwych liczb pięciocyfrowych wynosi (n-1) * n⁴.

Przykład Bardziej Złożony

Załóżmy, że S = {1, 2, 0, 5}. Czyli n = 4, zero należy do S. Zatem liczba możliwych liczb pięciocyfrowych wynosi (4-1) * 4⁴ = 3 * 256 = 768.

Podsumowanie

Mam nadzieję, że ta szczegółowa analiza pomogła Wam zrozumieć, jak rozwiązywać tego typu problemy kombinatoryczne. Kluczowe jest zidentyfikowanie ograniczeń (np. zero na pierwszej pozycji) oraz zrozumienie, ile opcji mamy dla każdej pozycji. Pamiętajcie, że w matematyce precyzja i dokładność są niezwykle ważne. Starajcie się zawsze rozkładać problem na mniejsze, łatwiejsze do zarządzania części, a następnie składać rozwiązanie całościowe. Powodzenia w dalszej nauce!