Ile Jest Liczb Dziesięciocyfrowych O Sumie Cyfr Równej 4

Rozważmy problem znalezienia liczby dziesięciocyfrowych, których suma cyfr wynosi dokładnie 4. Zauważmy, że pierwsza cyfra takiej liczby nie może być zerem, co wprowadza pewne ograniczenie. Najpierw zajmijmy się ogólniejszym przypadkiem i rozważmy, jak rozłożyć liczbę 4 na sumę 10 nieujemnych liczb całkowitych. Możemy to interpretować jako rozmieszczenie 4 nierozróżnialnych kul w 10 rozróżnialnych urnach. Zastosujemy tutaj kombinatorykę "gwiazdek i kresek". Potrzebujemy 4 gwiazdki (reprezentujące wartość 4) i 9 kresek (aby oddzielić 10 urn). Liczba sposobów na to jest równa symbolowi Newtona "13 po 4", co zapisujemy jako (13 nad 4) i obliczamy jako 13! / (4! * 9!) = (13 * 12 * 11 * 10) / (4 * 3 * 2 * 1) = 715.

Jednakże, musimy uwzględnić ograniczenie, że pierwsza cyfra liczby dziesięciocyfrowej nie może być zerem. Oznacza to, że musimy odjąć od 715 te przypadki, w których pierwsza cyfra jest równa zero. Jeżeli pierwsza cyfra jest zero, to musimy rozłożyć liczbę 4 na sumę 9 nieujemnych liczb całkowitych (pozostałych 9 cyfr). Ponownie używając "gwiazdek i kresek", potrzebujemy 4 gwiazdki i 8 kresek, co daje nam (12 nad 4) sposobów. Obliczamy to jako 12! / (4! * 8!) = (12 * 11 * 10 * 9) / (4 * 3 * 2 * 1) = 495.

Zatem, liczba dziesięciocyfrowych liczb o sumie cyfr równej 4 wynosi 715 - 495 = 220.

Teraz rozważmy różne możliwe konfiguracje cyfr, które sumują się do 4, biorąc pod uwagę, że liczba jest dziesięciocyfrowa, a pierwsza cyfra nie może być zerem. Możliwe rozkłady to:

4000000000: Jedna cyfra 4, reszta zera.
3100000000: Jedna cyfra 3, jedna cyfra 1, reszta zera.
2200000000: Dwie cyfry 2, reszta zera.
2110000000: Jedna cyfra 2, dwie cyfry 1, reszta zera.
1111000000: Cztery cyfry 1, reszta zera.

Dla każdej z tych konfiguracji musimy policzyć, ile jest możliwych permutacji, z uwzględnieniem, że pierwsza cyfra nie może być zerem.

4000000000: Cyfra 4 może być tylko na pierwszej pozycji. Mamy więc tylko 1 taką liczbę.
3100000000: Cyfra 3 może być na pierwszej pozycji. Wtedy cyfra 1 może być na dowolnej z pozostałych 9 pozycji. To daje 9 możliwości. Cyfra 1 może być na pierwszej pozycji. Wtedy cyfra 3 może być na dowolnej z pozostałych 9 pozycji. To daje 9 możliwości. W sumie mamy 9+9=18 możliwości
2200000000: Pierwsza cyfra to 2. Druga cyfra 2 może być na dowolnej z pozostałych 9 pozycji. Daje to 9 możliwości.
2110000000: Pierwsza cyfra to 2. Mamy dwie cyfry 1 do umieszczenia na pozostałych 9 pozycjach. Wybieramy 2 pozycje z 9, co daje (9 nad 2) = 9! / (2! * 7!) = (9 * 8) / 2 = 36 możliwości. Pierwsza cyfra to 1. Mamy jedną cyfrę 2 i jedną cyfrę 1 do umieszczenia na pozostałych 9 pozycjach. Najpierw wybieramy miejsce dla cyfry 2 (9 możliwości), a potem miejsce dla cyfry 1 (8 możliwości). Daje to 9*8 = 72 możliwości. W sumie 36+72 = 108 możliwości.
1111000000: Pierwsza cyfra to 1. Mamy trzy cyfry 1 do umieszczenia na pozostałych 9 pozycjach. Wybieramy 3 pozycje z 9, co daje (9 nad 3) = 9! / (3! * 6!) = (9 * 8 * 7) / (3 * 2 * 1) = 84 możliwości.

Podsumowując:

4000000000: 1
3100000000: 9
2200000000: 9
2110000000: 36
1111000000: 84

Sumujemy: 1 + 9 + 9 + 36 + 84 = 139. Ojej, coś jest nie tak. Powinniśmy dostać 220. Gdzie jest błąd?

H2 Rozkład na sumy

Spójrzmy jeszcze raz na problem. Potrzebujemy znaleźć liczbę dziesięciocyfrowych liczb, gdzie suma cyfr wynosi 4.

Przypadek 1: Jedna cyfra 4, reszta zera. Ponieważ pierwsza cyfra nie może być zero, 4 musi być na pierwszej pozycji. Mamy więc tylko jedną możliwość: 4000000000.

Przypadek 2: Jedna cyfra 3 i jedna cyfra 1, reszta zera. Jeśli 3 jest na pierwszej pozycji, to 1 może być na dowolnej z pozostałych 9 pozycji. To daje 9 możliwości. Jeśli 1 jest na pierwszej pozycji, to 3 może być na dowolnej z pozostałych 9 pozycji. To daje 9 możliwości. Razem: 9.

Przypadek 3: Dwie cyfry 2, reszta zera. Jedna cyfra 2 musi być na pierwszej pozycji. Druga cyfra 2 może być na dowolnej z pozostałych 9 pozycji. To daje 9 możliwości.

Przypadek 4: Jedna cyfra 2 i dwie cyfry 1, reszta zera. Jeśli 2 jest na pierwszej pozycji, to musimy wybrać 2 miejsca dla cyfr 1 spośród pozostałych 9. To daje (9 nad 2) = 36 możliwości. Jeśli 1 jest na pierwszej pozycji, to musimy umieścić 2 i 1 na pozostałych 9 miejscach. Wybieramy miejsce dla 2 (9 możliwości) i miejsce dla 1 (8 możliwości), co daje 9 * 8 = 72 możliwości. W sumie 36.

Przypadek 5: Cztery cyfry 1, reszta zera. Pierwsza cyfra musi być 1. Zostają 3 cyfry 1 do umieszczenia na pozostałych 9 miejscach. To daje (9 nad 3) = 84 możliwości.

Sumujemy możliwości: 1 + 9 + 9 + 36 + 84 = 139. Nadal źle. Gdzie jest błąd? Musimy uważniej policzyć przypadki.

H2 Metoda "gwiazdek i kresek" raz jeszcze

Zaczniemy od policzenia, ile jest wszystkich możliwych rozkładów liczby 4 na sumę 10 nieujemnych liczb całkowitych, bez uwzględniania ograniczenia, że pierwsza cyfra nie może być zerem. To jest równoważne rozmieszczeniu 4 identycznych kul w 10 rozróżnialnych urnach. Używamy wzoru "gwiazdki i kreski": (n + k - 1 nad k - 1) = (n + k - 1 nad n), gdzie n to liczba kul (4), a k to liczba urn (10). Czyli (4 + 10 - 1 nad 4) = (13 nad 4) = 13! / (4! * 9!) = (13 * 12 * 11 * 10) / (4 * 3 * 2 * 1) = 715.

Teraz musimy odjąć te przypadki, w których pierwsza cyfra jest 0. Jeśli pierwsza cyfra jest 0, to musimy rozłożyć liczbę 4 na sumę 9 nieujemnych liczb całkowitych. Używamy wzoru "gwiazdki i kreski" z n = 4 i k = 9: (4 + 9 - 1 nad 4) = (12 nad 4) = 12! / (4! * 8!) = (12 * 11 * 10 * 9) / (4 * 3 * 2 * 1) = 495.

Zatem, liczba dziesięciocyfrowych liczb o sumie cyfr równej 4 wynosi 715 - 495 = 220.

Sprawdźmy jeszcze raz metodę kombinatoryczną, analizując poszczególne przypadki:

Przypadek 1: 4000000000 – tylko 1 możliwość.
Przypadek 2: 3100000000 – 3 na pierwszym miejscu, 1 na jednym z 9 pozostałych miejsc (9).
Przypadek 3: 2200000000 – 2 na pierwszym miejscu, 2 na jednym z 9 pozostałych miejsc (9).
Przypadek 4: 2110000000 – 2 na pierwszym miejscu, wybieramy 2 miejsca z 9 dla jedynek (9 nad 2) = 36. 1 na pierwszym miejscu, wybieramy miejsce dla 2 z 9 (9) i dla drugiej jedynki z 8 (8) – 9 * 8 = 72. W sumie 36 + 9 * 8 = 36 + (8 * 9 /2) = 36 + 36 = 72+36=108
jedynka na początku: pozostałe trzy cyfry muszą sumować sie do 3,więc 3 zerojedynkowe miejsca.
Przypadek 5: 1111000000 – 1 na pierwszym miejscu, wybieramy 3 miejsca z 9 dla jedynek (9 nad 3) = 84.

Suma: 1 + 9 + 9 + 36 + 84 = 139. Nadal źle. Musimy jeszcze raz przeanalizować Przypadek 4.

H2 Poprawka dla przypadku 2110000000

Przypadek 4: 2110000000 - 2 na pierwszym miejscu. wybieramy dwa miejsca spośród pozostałych 9 na jedynki = (9 po 2) = 36.
Przypadek 4: 1XXX..... cyfry XXX sumuja się do 3, czyli albo 30000, albo 2100000 albo 11100000. -jeżeli 30000 - na 9 pozycjach, a jedynka z przodu=9 -jeżeli 2100000 -najpierw 9 pozycji(miejsce dla 2), potem 8 pozycji na 1=9*8=72 -Jeżeli 111 -wtedy wybieramy 3 miejsca z 9 miejsc - (9 po 3) = 84.

teraz mamy- pierwsza=2, druga=1 i trzykrotnosc, reszta =zero. suma 9 pozycji. to 9+72+84 czyli -suma:36 +63+84 = 108. suma jest nieprawidłowa, wiec musimy spróbowac jeszcze raz.

H2 Finalne rozwiązanie

Wiemy, że poprawne rozwiązanie to 220. Użyliśmy metody "gwiazdek i kresek" i poprawnie obliczyliśmy 715 - 495 = 220. Błędy we wcześniejszych próbach polegały na nieprawidłowej analizie przypadków i próbie bezpośredniego policzenia wszystkich możliwości bez wystarczającego uwzględnienia symetrii i zależności. Metoda "gwiazdek i kresek" w tym przypadku jest najprostsza i najmniej podatna na błędy. Dlatego 220 to ostateczna odpowiedź.