Graniastosłupy Sprawdzian 2 Gimnazjum Matematyka Z Plusem

Graniastosłupy to fascynujący obszar geometrii przestrzennej, który odgrywa kluczową rolę w zrozumieniu brył i ich właściwości. W klasie drugiej gimnazjum, a konkretnie przy korzystaniu z podręcznika "Matematyka z Plusem", uczniowie stają przed wyzwaniem opanowania wiedzy na temat graniastosłupów, przygotowując się do sprawdzianu. Temat ten obejmuje szeroki zakres zagadnień, od definicji i rodzajów graniastosłupów, przez obliczanie ich pól powierzchni i objętości, aż po rozwiązywanie zadań praktycznych. Przyjrzyjmy się zatem bliżej temu, co czeka uczniów na sprawdzianie z graniastosłupów.

Graniastosłup to wielościan, którego dwie ściany (podstawy) są przystającymi wielokątami leżącymi w płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany (ściany boczne) są równoległobokami. Graniastosłupy dzielimy na proste i pochyłe. W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami, a krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw. Graniastosłup, który nie jest prosty, nazywamy pochyłym. Dodatkowo, graniastosłupy klasyfikujemy ze względu na rodzaj wielokąta w podstawie: trójkątny, czworokątny, pięciokątny itd.

Sprawdzian z graniastosłupów w klasie drugiej gimnazjum zazwyczaj koncentruje się na graniastosłupach prostych, a najczęściej na graniastosłupach prawidłowych. Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny, czyli taki, którego wszystkie boki i kąty są równe. Typowe zadania obejmują obliczanie pola powierzchni całkowitej i objętości graniastosłupa o podanej podstawie i wysokości.

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa (Pc) to suma pól wszystkich jego ścian. Możemy je obliczyć, dodając pole dwóch podstaw (2Pp) do pola powierzchni bocznej (Pb):

Pc = 2Pp + Pb

Objętość graniastosłupa (V) obliczamy, mnożąc pole podstawy (Pp) przez wysokość graniastosłupa (H):

V = Pp * H

Zadania sprawdzające wiedzę o graniastosłupach mogą przybierać różne formy. Często pojawiają się zadania, w których uczeń musi obliczyć pole powierzchni lub objętość graniastosłupa, znając jego wymiary. Przykładowo:

Zadanie 1: Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy 6 cm i wysokości 10 cm.

Rozwiązanie:

Pp = (a²√3)/4 = (6²√3)/4 = (36√3)/4 = 9√3 cm² Pb = 3 * a * H = 3 * 6 * 10 = 180 cm² Pc = 2 * Pp + Pb = 2 * 9√3 + 180 = 18√3 + 180 cm² V = Pp * H = 9√3 * 10 = 90√3 cm³

Zadanie 2: Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych 8 cm i 6 cm. Wysokość graniastosłupa wynosi 12 cm. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Pp = (d1 * d2) / 2 = (8 * 6) / 2 = 48 / 2 = 24 cm² V = Pp * H = 24 * 12 = 288 cm³

Zadania na Sprawdzianie – Przykłady i Strategie

Sprawdziany z graniastosłupów mogą zawierać zarówno zadania zamknięte (testowe), jak i otwarte, wymagające samodzielnego rozwiązania i uzasadnienia. Zadania zamknięte często sprawdzają podstawową wiedzę teoretyczną, np. rozpoznawanie rodzajów graniastosłupów, znajomość wzorów na pole powierzchni i objętość. Zadania otwarte natomiast pozwalają ocenić umiejętność stosowania wiedzy w praktyce, rozwiązywania problemów i logicznego myślenia.

Oprócz obliczania pól powierzchni i objętości, na sprawdzianie mogą pojawić się zadania wymagające obliczenia długości przekątnej graniastosłupa, kąta nachylenia przekątnej do podstawy, lub inne zadania geometryczne wykorzystujące własności graniastosłupów. Ważne jest, aby uczeń potrafił wyobrazić sobie przestrzennie dany graniastosłup i zidentyfikować odpowiednie zależności geometryczne.

Kolejnym typem zadań, które mogą pojawić się na sprawdzianie, są zadania z treścią, w których uczeń musi najpierw zrozumieć treść zadania, zidentyfikować dane i szukane, a następnie ułożyć odpowiednie równania lub nierówności i je rozwiązać. Przykładowo:

Zadanie 3: Do akwarium w kształcie graniastosłupa prostego o podstawie prostokąta o wymiarach 40 cm x 25 cm wlano 20 litrów wody. Do jakiej wysokości sięga woda w akwarium?

Rozwiązanie:

V = 20 litrów = 20 dm³ = 20000 cm³ Pp = 40 cm * 25 cm = 1000 cm² V = Pp * H 20000 = 1000 * H H = 20000 / 1000 = 20 cm

Woda sięga do wysokości 20 cm w akwarium.

Zadanie 4: Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi 72 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego sześcianu.

Rozwiązanie:

Sześcian ma 12 krawędzi. 12a = 72 cm a = 72 / 12 = 6 cm Pc = 6a² = 6 * 6² = 6 * 36 = 216 cm² V = a³ = 6³ = 216 cm³

Zadanie 5: Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, w którym dłuższa przekątna podstawy ma długość 8 cm, a wysokość graniastosłupa wynosi 10 cm.

Rozwiązanie:

Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego to 2a, gdzie a to długość boku sześciokąta. 2a = 8 cm a = 4 cm Pp = (3a²√3)/2 = (3 * 4²√3)/2 = (3 * 16√3)/2 = (48√3)/2 = 24√3 cm² V = Pp * H = 24√3 * 10 = 240√3 cm³

Wskazówki dotyczące przygotowania do sprawdzianu

Aby dobrze przygotować się do sprawdzianu z graniastosłupów, warto regularnie powtarzać materiał, rozwiązywać zadania z podręcznika i zbioru zadań, a także korzystać z dodatkowych źródeł, np. internetowych platform edukacyjnych. Ważne jest, aby zrozumieć definicje i wzory, a nie tylko nauczyć się ich na pamięć. Spróbuj samodzielnie wyprowadzić wzory na pole powierzchni i objętość graniastosłupów, aby lepiej zrozumieć ich sens.

Podczas rozwiązywania zadań staraj się dokładnie analizować treść zadania, rysować schematyczne rysunki, oznaczaj dane i szukane. Pamiętaj o jednostkach! Sprawdzaj, czy wszystkie wymiary są podane w tych samych jednostkach, a wynik podaj w odpowiedniej jednostce.

Jeśli masz trudności z jakimś zagadnieniem, nie wstydź się poprosić o pomoc nauczyciela lub kolegów z klasy. Wspólna praca i dyskusja mogą pomóc w zrozumieniu trudnych tematów.

Przed samym sprawdzianem zrób sobie powtórkę materiału, rozwiąż kilka przykładowych zadań, aby utrwalić wiedzę. Pamiętaj o dobrym wypoczynku przed sprawdzianem, aby być skoncentrowanym i gotowym do pracy.

Podczas sprawdzianu czytaj uważnie treść zadań, rób rysunki pomocnicze, sprawdzaj obliczenia i odpowiedzi. Pamiętaj, że nawet jeśli nie potrafisz rozwiązać całego zadania, możesz otrzymać punkty za poprawne rozumowanie i częściowe rozwiązanie.

Przykładowe zadanie - Graniastosłup z ostrosłupem

Zadanie 6: Na graniastosłup prawidłowy czworokątny nałożono ostrosłup prawidłowy czworokątny. Krawędź podstawy graniastosłupa ma długość 4 cm, a wysokość graniastosłupa jest równa 6 cm. Wysokość ostrosłupa wynosi 3 cm. Oblicz objętość powstałej bryły.

Rozwiązanie:

Objętość graniastosłupa: V_gr = Pp * H_gr = 4² * 6 = 16 * 6 = 96 cm³

Objętość ostrosłupa: V_ost = (1/3) * Pp * H_ost = (1/3) * 4² * 3 = (1/3) * 16 * 3 = 16 cm³

Objętość bryły: V_bryly = V_gr + V_ost = 96 + 16 = 112 cm³

Powstała bryła ma objętość 112 cm³.

Opanowanie wiedzy na temat graniastosłupów wymaga systematycznej pracy i rozwiązywania różnorodnych zadań. Pamiętaj, że matematyka to umiejętność, którą można rozwijać przez regularne ćwiczenia i praktykę. Powodzenia na sprawdzianie!