Graniastosłupy I Ostrosłupy Sprawdzian Nowa Era Liceum

Graniastosłupy i ostrosłupy to jedne z podstawowych figur geometrycznych, z którymi uczniowie liceów spotykają się na lekcjach matematyki. Zrozumienie ich właściwości, wzorów oraz umiejętność rozwiązywania zadań z nimi związanych jest kluczowe dla sukcesu na sprawdzianach, a także dla dalszej nauki matematyki. W tym artykule przyjrzymy się bliżej graniastosłupom i ostrosłupom, skupiając się na zagadnieniach, które często pojawiają się na sprawdzianach wydawnictwa Nowa Era w liceum.

Zacznijmy od graniastosłupów. Graniastosłup to wielościan, którego dwie ściany (podstawy) są przystającymi wielokątami leżącymi w równoległych płaszczyznach, a pozostałe ściany (ściany boczne) są równoległobokami. Istnieje kilka rodzajów graniastosłupów, które różnią się kształtem podstawy. Mamy więc graniastosłupy trójkątne, czworokątne, pięciokątne itd. W zależności od tego, czy ściany boczne są prostopadłe do podstaw, graniastosłupy dzielimy na proste i pochyłe. Najczęściej spotykane na sprawdzianach są graniastosłupy proste, w których ściany boczne są prostokątami. Szczególnym przypadkiem graniastosłupa prostego jest sześcian, którego wszystkie ściany są kwadratami.

Kluczowe zagadnienia związane z graniastosłupami, które warto powtórzyć przed sprawdzianem, to obliczanie pola powierzchni i objętości. Pole powierzchni graniastosłupa to suma pól wszystkich jego ścian. Obliczamy ją, dodając pole dwóch podstaw i pole powierzchni bocznej. Wzór na pole powierzchni graniastosłupa można zapisać jako: P = 2 * Pp + Pb, gdzie Pp to pole podstawy, a Pb to pole powierzchni bocznej. Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości graniastosłupa: V = Pp * H, gdzie H to wysokość graniastosłupa.

Przejdźmy teraz do ostrosłupów. Ostrosłup to wielościan, którego jedna ściana (podstawa) jest wielokątem, a pozostałe ściany (ściany boczne) są trójkątami o wspólnym wierzchołku, zwanym wierzchołkiem ostrosłupa. Podobnie jak w przypadku graniastosłupów, ostrosłupy dzielimy na trójkątne, czworokątne, pięciokątne itd., w zależności od kształtu podstawy. Ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi, nazywamy ostrosłupem prawidłowym. Szczególnym przypadkiem ostrosłupa jest czworościan, którego wszystkie ściany są trójkątami. Jeśli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi, nazywamy go czworościanem foremnym.

Podobnie jak w przypadku graniastosłupów, ważne jest, aby znać wzory na pole powierzchni i objętość ostrosłupa. Pole powierzchni ostrosłupa to suma pola podstawy i pola powierzchni bocznej: P = Pp + Pb, gdzie Pp to pole podstawy, a Pb to pole powierzchni bocznej. Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości ostrosłupa: V = (1/3) * Pp * H, gdzie H to wysokość ostrosłupa.

Przykładowe Zadania z Graniastosłupów i Ostrosłupów

Rozwiązywanie zadań to najlepszy sposób na utrwalenie wiedzy i przygotowanie się do sprawdzianu. Poniżej przedstawiam kilka przykładowych zadań, które mogą pojawić się na sprawdzianie.

Zadanie 1: Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 6 cm i 8 cm. Wysokość graniastosłupa wynosi 10 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

1. Obliczamy pole podstawy (rombu): Pp = (1/2) * d1 * d2 = (1/2) * 6 cm * 8 cm = 24 cm².
2. Obliczamy długość boku rombu. Z własności rombu wiemy, że jego przekątne przecinają się w połowie pod kątem prostym. Zatem połowy przekątnych tworzą trójkąt prostokątny o bokach 3 cm i 4 cm. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku rombu: a = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm.
3. Obliczamy obwód rombu: Obw = 4 * a = 4 * 5 cm = 20 cm.
4. Obliczamy pole powierzchni bocznej: Pb = Obw * H = 20 cm * 10 cm = 200 cm².
5. Obliczamy pole powierzchni całkowitej: P = 2 * Pp + Pb = 2 * 24 cm² + 200 cm² = 48 cm² + 200 cm² = 248 cm².
6. Obliczamy objętość: V = Pp * H = 24 cm² * 10 cm = 240 cm³.

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wynosi 248 cm², a jego objętość wynosi 240 cm³.

Zadanie 2: Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku długości 4 cm. Wysokość ostrosłupa wynosi 6 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:

1. Obliczamy pole podstawy (kwadratu): Pp = a² = (4 cm)² = 16 cm².
2. Obliczamy objętość: V = (1/3) * Pp * H = (1/3) * 16 cm² * 6 cm = 32 cm³.

Odpowiedź: Objętość ostrosłupa wynosi 32 cm³.

Zadanie 3: Oblicz pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego o krawędzi długości 2 cm.

Rozwiązanie:

1. Czworościan foremny ma 4 ściany, które są trójkątami równobocznymi.
2. Obliczamy pole jednego trójkąta równobocznego: Pp = (a²√3) / 4 = (2²√3) / 4 = (4√3) / 4 = √3 cm².
3. Obliczamy pole powierzchni całkowitej: P = 4 * Pp = 4 * √3 cm² = 4√3 cm².

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego wynosi 4√3 cm².

Zadanie 4: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 6 cm, a wysokość ściany bocznej tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 stopni. Oblicz objętość ostrosłupa.

Rozwiązanie:

1. Obliczamy pole podstawy: Pp = a² = 6² = 36 cm².
2. Musimy obliczyć wysokość ostrosłupa (H). Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy wynosi 60 stopni. Możemy utworzyć trójkąt prostokątny, w którym wysokość ostrosłupa jest jednym z boków, a połowa krawędzi podstawy (3 cm) jest drugim bokiem. Kąt między wysokością ściany bocznej a połową krawędzi podstawy wynosi 60 stopni.
3. Używamy funkcji tangens: tan(60°) = H / 3. Zatem H = 3 * tan(60°) = 3 * √3 cm.
4. Obliczamy objętość: V = (1/3) * Pp * H = (1/3) * 36 cm² * 3√3 cm = 36√3 cm³.

Odpowiedź: Objętość ostrosłupa wynosi 36√3 cm³.

Dodatkowe Wskazówki Przed Sprawdzianem

Oprócz znajomości wzorów i umiejętności rozwiązywania zadań, warto pamiętać o kilku dodatkowych wskazówkach, które mogą pomóc w uzyskaniu lepszego wyniku na sprawdzianie.

• Dokładnie czytaj treść zadania: Zanim zaczniesz rozwiązywać zadanie, upewnij się, że dobrze zrozumiałeś, o co pytają. Zwróć uwagę na jednostki, dane liczbowe i ewentualne ograniczenia.
• Rysuj schematy: Narysowanie schematu graniastosłupa lub ostrosłupa może pomóc w wizualizacji problemu i ułatwić znalezienie właściwego rozwiązania. Oznacz na rysunku wszystkie dane, które masz podane w zadaniu.
• Sprawdzaj jednostki: Upewnij się, że wszystkie obliczenia wykonujesz w tych samych jednostkach. Jeśli masz podane dane w różnych jednostkach, zamień je na jedną wspólną jednostkę przed rozpoczęciem obliczeń.
• Sprawdzaj wyniki: Po rozwiązaniu zadania sprawdź, czy otrzymany wynik jest logiczny i ma sens. Upewnij się, że nie popełniłeś żadnego błędu w obliczeniach.
• Powtarzaj zadania: Rozwiązywanie dużej liczby zadań to najlepszy sposób na utrwalenie wiedzy i przygotowanie się do sprawdzianu. Skorzystaj z podręcznika, zbiorów zadań i internetowych zasobów, aby znaleźć jak najwięcej przykładów.

Pamiętaj, że kluczem do sukcesu jest regularna nauka i systematyczne powtarzanie materiału. Jeśli będziesz się systematycznie uczył i rozwiązywał zadania, z pewnością poradzisz sobie z zadaniami na sprawdzianie z graniastosłupów i ostrosłupów. Powodzenia!