Graniastosłupy I Ostrosłupy Sprawdzian 3 Gimnazjum Pdf

Graniastosłupy i ostrosłupy to figury przestrzenne, które poznajemy w gimnazjum, a ich dogłębne zrozumienie jest kluczowe do dalszej nauki geometrii. Sprawdzian z tego działu ma na celu sprawdzenie, czy uczeń opanował podstawowe pojęcia, wzory i umiejętności związane z obliczaniem pól powierzchni i objętości tych brył. Przygotowanie do takiego sprawdzianu wymaga systematyczności i solidnego zrozumienia materiału.

Rozpocznijmy od graniastosłupów. Graniastosłup to wielościan, który ma dwie równoległe i przystające podstawy, będące wielokątami, oraz ściany boczne, które są równoległobokami. Ważne jest rozróżnienie graniastosłupów prostych i pochyłych. W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami i są prostopadłe do podstaw. Natomiast w graniastosłupie pochyłym ściany boczne nie są prostopadłe do podstaw.

Do obliczenia pola powierzchni graniastosłupa potrzebujemy znać pole podstawy (Pp) oraz pole powierzchni bocznej (Pb). Wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa (Pc) wygląda następująco:

Pc = 2Pp + Pb

Pole podstawy zależy od tego, jaki wielokąt znajduje się w podstawie. Może to być trójkąt, kwadrat, prostokąt, trapez, pięciokąt i tak dalej. Dlatego ważne jest, aby przypomnieć sobie wzory na pola różnych wielokątów. Na przykład, pole trójkąta to połowa iloczynu długości podstawy i wysokości (P = 1/2 * a * h), pole kwadratu to kwadrat długości boku (P = a^2), a pole prostokąta to iloczyn długości dwóch sąsiednich boków (P = a * b).

Pole powierzchni bocznej graniastosłupa to suma pól wszystkich ścian bocznych. W graniastosłupie prostym, gdzie ściany boczne są prostokątami, pole powierzchni bocznej można obliczyć jako iloczyn obwodu podstawy (Ob) i wysokości graniastosłupa (H):

Pb = Ob * H

Objętość graniastosłupa (V) obliczamy, mnożąc pole podstawy przez wysokość:

V = Pp * H

Przejdźmy teraz do ostrosłupów. Ostrosłup to wielościan, którego podstawą jest wielokąt, a ściany boczne są trójkątami zbiegającymi się w jednym punkcie, zwanym wierzchołkiem ostrosłupa. Podobnie jak w przypadku graniastosłupów, wyróżniamy ostrosłupy proste i pochyłe. W ostrosłupie prostym spodek wysokości ostrosłupa (czyli punkt, w którym wysokość opuszczona z wierzchołka ostrosłupa przecina płaszczyznę podstawy) pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na podstawie.

Do obliczenia pola powierzchni ostrosłupa potrzebujemy znać pole podstawy (Pp) oraz pole powierzchni bocznej (Pb). Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa (Pc) jest następujący:

Pc = Pp + Pb

Podobnie jak w przypadku graniastosłupów, pole podstawy zależy od tego, jaki wielokąt znajduje się w podstawie.

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa to suma pól wszystkich ścian bocznych, które są trójkątami. Jeśli ostrosłup jest prawidłowy (czyli jego podstawą jest wielokąt foremny, a ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi), to pole powierzchni bocznej można obliczyć jako:

Pb = 1/2 * Ob * h,

gdzie Ob to obwód podstawy, a h to wysokość ściany bocznej (wysokość trójkąta równoramiennego opuszczona na podstawę).

Objętość ostrosłupa (V) obliczamy, mnożąc jedną trzecią pola podstawy przez wysokość:

V = 1/3 * Pp * H

Przykładowe Zadania i Sposoby Ich Rozwiązywania

Rozważmy graniastosłup prosty trójkątny, którego podstawą jest trójkąt prostokątny o bokach 3 cm, 4 cm i 5 cm. Wysokość graniastosłupa wynosi 10 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa.

1. Oblicz pole podstawy (Pp): Ponieważ podstawa jest trójkątem prostokątnym, pole można obliczyć jako połowę iloczynu długości przyprostokątnych: Pp = 1/2 * 3 cm * 4 cm = 6 cm².
2. Oblicz obwód podstawy (Ob): Ob = 3 cm + 4 cm + 5 cm = 12 cm.
3. Oblicz pole powierzchni bocznej (Pb): Pb = Ob * H = 12 cm * 10 cm = 120 cm².
4. Oblicz pole powierzchni całkowitej (Pc): Pc = 2Pp + Pb = 2 * 6 cm² + 120 cm² = 132 cm².
5. Oblicz objętość (V): V = Pp * H = 6 cm² * 10 cm = 60 cm³.

Teraz rozważmy ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego krawędź podstawy ma długość 6 cm, a wysokość ściany bocznej wynosi 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa, jeśli wysokość ostrosłupa wynosi 4 cm.

1. Oblicz pole podstawy (Pp): Podstawa jest kwadratem, więc Pp = a² = (6 cm)² = 36 cm².
2. Oblicz obwód podstawy (Ob): Ob = 4 * a = 4 * 6 cm = 24 cm.
3. Oblicz pole powierzchni bocznej (Pb): Pb = 1/2 * Ob * h = 1/2 * 24 cm * 5 cm = 60 cm².
4. Oblicz pole powierzchni całkowitej (Pc): Pc = Pp + Pb = 36 cm² + 60 cm² = 96 cm².
5. Oblicz objętość (V): V = 1/3 * Pp * H = 1/3 * 36 cm² * 4 cm = 48 cm³.

Wskazówki i Triki na Sprawdzian

• Zrozumienie definicji: Upewnij się, że rozumiesz definicje graniastosłupów i ostrosłupów, ich rodzajów (proste, pochyłe, prawidłowe) oraz elementów (podstawa, ściana boczna, wierzchołek, wysokość).
• Zapamiętanie wzorów: Naucz się na pamięć wzorów na pola powierzchni i objętości graniastosłupów i ostrosłupów. Warto też znać wzory na pola różnych wielokątów, które mogą pojawić się w podstawie.
• Rysunki pomocnicze: Wykonuj rysunki pomocnicze do każdego zadania. Pomaga to w zrozumieniu zadania i zidentyfikowaniu potrzebnych danych.
• Jednostki: Zawsze pamiętaj o podawaniu jednostek (cm², m³, etc.) w wynikach obliczeń.
• Sprawdzanie odpowiedzi: Po rozwiązaniu zadania, sprawdź, czy odpowiedź ma sens. Na przykład, objętość nie może być ujemna, a pole powierzchni musi być większe od zera.
• Ćwiczenia: Rozwiązuj jak najwięcej zadań. Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz materiał i nabierzesz wprawy w obliczeniach.

Powodzenia na sprawdzianie! Pamiętaj, że kluczem do sukcesu jest solidne przygotowanie i systematyczna praca.