Funkcje Wymierne Sprawdzian Nowa Era Chomikuj

Zacznijmy od absolutnych podstaw. Czym właściwie jest funkcja wymierna? Najprościej mówiąc, to funkcja, która może być zapisana jako iloraz dwóch wielomianów. Czyli, jeśli mamy dwa wielomiany, powiedzmy P(x) i Q(x), gdzie Q(x) nie jest wielomianem zerowym (czyli nie jest stale równe zero), to funkcja f(x) = P(x) / Q(x) jest funkcją wymierną.

Dziedzina Funkcji Wymiernej

Kolejnym kluczowym pojęciem jest dziedzina. Pamiętaj, że nie możemy dzielić przez zero! Zatem dziedzina funkcji wymiernej to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, *z wyjątkiem* tych, dla których mianownik (czyli Q(x)) jest równy zero. Aby wyznaczyć dziedzinę, musimy rozwiązać równanie Q(x) = 0. Rozwiązania tego równania *wykluczamy* ze zbioru liczb rzeczywistych.

Przykład: Niech f(x) = (x + 1) / (x - 2). Mianownik x - 2 równa się zero, gdy x = 2. Zatem dziedzina tej funkcji to wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 2, co zapisujemy jako D = R \ {2}.

Asymptoty Funkcji Wymiernej

Asymptoty to proste, do których wykres funkcji wymiernej "zbliża się" w nieskończoności lub w punktach, gdzie funkcja nie jest zdefiniowana. Wyróżniamy dwa główne rodzaje asymptot:

• Asymptoty pionowe: Występują w punktach, które nie należą do dziedziny funkcji. Szukamy ich, znajdując te wartości x, dla których mianownik jest równy zero, a licznik nie jest równy zero. W naszym poprzednim przykładzie (f(x) = (x + 1) / (x - 2)), asymptota pionowa występuje w x = 2.
• Asymptoty poziome: Mówią nam, jak funkcja zachowuje się dla bardzo dużych (dodatnich lub ujemnych) wartości x. Aby znaleźć asymptotę poziomą, porównujemy stopnie wielomianów w liczniku i mianowniku.
  • Jeśli stopień licznika jest *mniejszy* niż stopień mianownika, to asymptota pozioma jest w y = 0.
  • Jeśli stopień licznika jest *równy* stopniowi mianownika, to asymptota pozioma jest w y = a/b, gdzie a to współczynnik przy najwyższej potędze x w liczniku, a b to współczynnik przy najwyższej potędze x w mianowniku.
  • Jeśli stopień licznika jest *większy* niż stopień mianownika, to funkcja nie ma asymptoty poziomej (może mieć asymptotę ukośną, ale to już bardziej zaawansowany temat).
  W naszym przykładzie (f(x) = (x + 1) / (x - 2)), stopień licznika i mianownika jest równy 1. Zatem asymptota pozioma to y = 1/1 = 1.

Praktyczne Zastosowania

Funkcje wymierne znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach. W fizyce, mogą opisywać zależność pomiędzy siłą a odległością (np. w prawie powszechnego ciążenia). W ekonomii, mogą modelować koszty przeciętne. W chemii, mogą opisywać szybkość reakcji chemicznych. Nawet w życiu codziennym, możemy spotkać się z sytuacjami, które można opisać za pomocą funkcji wymiernych, np. podział kosztów zakupu na grupę osób – im więcej osób, tym mniejszy koszt na osobę (przy założeniu stałej ceny całkowitej).

Zrozumienie funkcji wymiernych jest kluczowe nie tylko do zdania sprawdzianu, ale również do rozwiązywania problemów w wielu dziedzinach nauki i techniki. Zatem warto poświęcić czas na ich dokładne poznanie.