Funkcje Wymierne Sprawdzian 2 Liceum Nowa Era

Sprawdzian z funkcji wymiernych w 2 klasie liceum, szczególnie w oparciu o program wydawnictwa Nowa Era, to często kluczowy moment sprawdzający zrozumienie tego istotnego działu matematyki. Funkcje wymierne, choć początkowo mogą wydawać się skomplikowane, są niezwykle przydatne w modelowaniu różnorodnych zjawisk w świecie rzeczywistym. Ten artykuł ma na celu przybliżenie najważniejszych zagadnień, które zazwyczaj pojawiają się na tego typu sprawdzianach, tak aby pomóc w przygotowaniu i osiągnięciu jak najlepszego wyniku.

Definicja i podstawowe własności funkcji wymiernych

Funkcja wymierna to funkcja, którą można zapisać w postaci ilorazu dwóch wielomianów, czyli f(x) = W(x) / P(x), gdzie W(x) i P(x) są wielomianami, a P(x) ≠ 0. Kluczowe jest zrozumienie, że mianownik, czyli P(x), nie może być równy zeru. Miejsca zerowe mianownika determinują dziedzinę funkcji. Pamiętaj o tym!

Dziedzina funkcji wymiernej: Jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, z wyłączeniem tych, dla których mianownik jest równy zero. Czyli, rozwiązujemy równanie P(x) = 0 i wykluczamy te rozwiązania z dziedziny.

Miejsca zerowe funkcji wymiernej: Są to miejsca zerowe licznika W(x), które należą do dziedziny funkcji f(x). Musisz sprawdzić, czy pierwiastki licznika nie pokrywają się z punktami wykluczonymi z dziedziny!

Asymptoty funkcji wymiernej

Asymptoty są liniami prostymi, do których wykres funkcji zbliża się, ale nigdy ich nie przecina (lub przecina w nieskończoności). Istnieją trzy rodzaje asymptot:

• Asymptota pionowa: Występuje w punktach, które nie należą do dziedziny funkcji, czyli w miejscach zerowych mianownika. Obliczamy granice jednostronne funkcji w tych punktach. Jeśli granica jest równa +∞ lub -∞, to mamy asymptotę pionową.
• Asymptota pozioma: Określa zachowanie funkcji dla x dążącego do +∞ lub -∞. Obliczamy granice funkcji przy x dążącym do +∞ i -∞. Jeśli granica jest liczbą, to ta liczba jest wartością asymptoty poziomej (y = liczba).
• Asymptota ukośna: Występuje, gdy stopień licznika jest o jeden większy niż stopień mianownika. Możemy ją wyznaczyć, dzieląc licznik przez mianownik (W(x) / P(x)). Asymptota ukośna to część liniowa wyniku dzielenia.

Przekształcenia wykresów funkcji wymiernych

Znając podstawowy wykres funkcji wymiernej, np. f(x) = 1/x, możemy go przekształcać za pomocą następujących operacji:

• Przesunięcie o wektor [p, q]: Zamiana f(x) na f(x - p) + q powoduje przesunięcie wykresu o wektor [p, q].
• Symetria względem osi OX: Zamiana f(x) na -f(x).
• Symetria względem osi OY: Zamiana f(x) na f(-x).
• Rozciągnięcie lub zwężenie w kierunku osi OY: Zamiana f(x) na a*f(x), gdzie a jest liczbą rzeczywistą różną od zera.

Umiejętność rozpoznawania i stosowania tych przekształceń jest bardzo ważna na sprawdzianie.

Rozwiązywanie równań i nierówności wymiernych

Równania wymierne: Aby rozwiązać równanie wymierne, mnożymy obie strony równania przez mianownik (po upewnieniu się, że nie jest on równy zero). Następnie rozwiązujemy otrzymane równanie wielomianowe. Pamiętaj o sprawdzeniu, czy otrzymane rozwiązania należą do dziedziny!

Nierówności wymierne: Przenosimy wszystko na jedną stronę nierówności, sprowadzamy do wspólnego mianownika i upraszczamy. Następnie znajdujemy miejsca zerowe licznika i mianownika. Wyznaczamy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne, uwzględniając dziedzinę funkcji.

Przykłady zastosowań funkcji wymiernych

Funkcje wymierne znajdują szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach. Oto kilka przykładów:

• Fizyka: Opis zależności natężenia oświetlenia od odległości od źródła światła, zależność siły grawitacji od odległości.
• Chemia: Modelowanie kinetyki reakcji chemicznych.
• Ekonomia: Analiza kosztów jednostkowych produkcji w zależności od wielkości produkcji. Na przykład, koszt jednostkowy wyprodukowania produktu może spadać wraz ze wzrostem produkcji, ale w pewnym momencie zaczyna rosnąć ze względu na ograniczenia zasobów.
• Biologia: Modelowanie wzrostu populacji, gdzie wzrost zależy od dostępności zasobów.

Przykład z ekonomii: Załóżmy, że koszt całkowity produkcji x jednostek produktu opisuje funkcja K(x) = 1000 + 5x. Wtedy koszt jednostkowy produkcji to k(x) = K(x)/x = (1000 + 5x)/x = 1000/x + 5. Widzimy, że k(x) jest funkcją wymierną. Wraz ze wzrostem x, koszt jednostkowy produkcji dąży do 5.

Podsumowanie i wskazówki do sprawdzianu

Przygotowując się do sprawdzianu z funkcji wymiernych, skup się na:

• Zrozumieniu definicji i własności funkcji wymiernych.
• Umiejętności wyznaczania dziedziny, miejsc zerowych i asymptot.
• Zdolności przekształcania wykresów funkcji wymiernych.
• Rozwiązywaniu równań i nierówności wymiernych.
• Zrozumieniu, jak wykorzystywać funkcje wymierne w praktycznych zastosowaniach.

Pamiętaj! Ćwiczenie czyni mistrza. Rozwiąż jak najwięcej zadań z podręcznika, zbioru zadań oraz arkuszy maturalnych. Zwróć uwagę na szczegóły i uważnie czytaj polecenia. Powodzenia na sprawdzianie!