Funkcja Wymierna Sprawdzian Poziom Podstawowy

Funkcje wymierne stanowią istotny element matematyki na poziomie szkoły średniej. Szczególnie na poziomie podstawowym, zrozumienie ich własności i umiejętność rozwiązywania zadań związanych z funkcjami wymiernymi jest kluczowe. Ten artykuł skupi się na najważniejszych aspektach funkcji wymiernych, które pojawiają się na sprawdzianach na poziomie podstawowym, pomagając uczniom w lepszym przygotowaniu.

Definicja i Własności Funkcji Wymiernej

Funkcja wymierna to funkcja, którą można zapisać w postaci ilorazu dwóch wielomianów, czyli jako f(x) = W(x) / V(x), gdzie W(x) i V(x) są wielomianami, a V(x) ≠ 0. Oznacza to, że mianownik nie może być zerowy. To ograniczenie ma zasadniczy wpływ na dziedzinę funkcji.

Dziedzina Funkcji Wymiernej

Dziedzina funkcji wymiernej to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których mianownik nie jest równy zero. Aby ją wyznaczyć, należy rozwiązać równanie V(x) = 0, a następnie wykluczyć otrzymane pierwiastki z zbioru liczb rzeczywistych. Na przykład, dla funkcji f(x) = (x + 1) / (x - 2), dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem x = 2, czyli D = R \ {2}.

Miejsca Zerowe Funkcji Wymiernej

Miejsca zerowe funkcji wymiernej to wartości argumentu x, dla których funkcja przyjmuje wartość zero. Aby je znaleźć, należy rozwiązać równanie W(x) = 0, pamiętając, że rozwiązania te muszą należeć do dziedziny funkcji. Innymi słowy, sprawdzamy, czy uzyskane pierwiastki licznika nie powodują również zerowania się mianownika. Jeśli tak, to nie są to miejsca zerowe funkcji wymiernej. Przykładowo, dla funkcji f(x) = (x - 1) / (x + 3), miejscem zerowym jest x = 1.

Asymptoty Funkcji Wymiernej

Asymptoty to proste, do których wykres funkcji zbliża się w nieskończoności lub w pobliżu punktów, w których funkcja nie jest określona. Najważniejsze asymptoty, które pojawiają się na poziomie podstawowym to:

• Asymptota pionowa: Występuje w punktach, które nie należą do dziedziny funkcji, czyli w miejscach, gdzie mianownik jest równy zero (o ile licznik w tym punkcie nie jest również równy zero i nie można skrócić ułamka). Jej równanie ma postać x = a, gdzie a jest liczbą, która nie należy do dziedziny.
• Asymptota pozioma: Określa zachowanie funkcji dla dużych wartości x (dążących do plus lub minus nieskończoności). Aby ją wyznaczyć, analizujemy granice funkcji przy x dążącym do ±∞. Jeśli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika, asymptotą poziomą jest prosta y = 0. Jeśli stopnie są równe, asymptota pozioma ma równanie y = a/b, gdzie a i b są współczynnikami przy najwyższych potęgach x w liczniku i mianowniku odpowiednio.

Rozwiązywanie Nierówności Wymiernych

Rozwiązywanie nierówności wymiernych polega na znalezieniu zbioru wszystkich argumentów x, dla których funkcja wymierna spełnia daną nierówność (np. f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0). Kluczowym krokiem jest przeniesienie wszystkich wyrazów na jedną stronę nierówności, tak aby po drugiej stronie było zero. Następnie doprowadzamy wyrażenie po jednej stronie do postaci ilorazu dwóch wielomianów. Kolejnym krokiem jest znalezienie miejsc zerowych licznika i mianownika (czyli pierwiastków wielomianów) i zaznaczenie ich na osi liczbowej. Pamiętajmy, że miejsca zerowe mianownika oznaczamy kółkami otwartymi (bo nie należą do dziedziny). Na każdym z przedziałów ograniczonych pierwiastkami badamy znak funkcji, a następnie wybieramy te przedziały, które spełniają warunki nierówności.

Przykłady Zastosowań

Funkcje wymierne znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach, np.:

• Fizyka: Opisują zależność siły grawitacji od odległości, opór elektryczny w obwodach.
• Ekonomia: Modelowanie popytu i podaży.
• Chemia: Opisują szybkość reakcji chemicznych.

Przykład z życia codziennego: Załóżmy, że mamy pewną kwotę pieniędzy, którą chcemy rozdzielić równo pomiędzy pewną liczbę osób. Kwotę pieniędzy oznaczmy jako K, a liczbę osób jako x. Wtedy kwota przypadająca na jedną osobę wynosi K / x, co jest funkcją wymierną. Im więcej osób (większe x), tym mniejsza kwota przypadająca na jedną osobę.

Podsumowanie

Funkcje wymierne stanowią ważny dział matematyki, wymagający zrozumienia podstawowych pojęć, takich jak dziedzina, miejsca zerowe, asymptoty oraz umiejętności rozwiązywania nierówności. Systematyczna praca i rozwiązywanie zadań jest kluczem do sukcesu na sprawdzianie. Pamiętaj o dokładnym analizowaniu dziedziny funkcji i sprawdzaniu, czy otrzymane rozwiązania spełniają założenia.

Zadanie dla Ciebie: Spróbuj samodzielnie rozwiązać kilka zadań z podręcznika lub zbioru zadań, aby utrwalić zdobytą wiedzę. Powodzenia!