Funkcja Liniowa Sprawdzian Liceum Rozszerzony

Najważniejsze na początek: Funkcja liniowa to funkcja matematyczna, którą można zapisać w postaci f(x) = ax + b, gdzie a i b to stałe liczby. a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, a b to wyraz wolny.

Podstawowe pojęcia i własności

Współczynnik kierunkowy (a): Określa nachylenie prostej. Jeśli a > 0, funkcja jest rosnąca. Jeśli a < 0, funkcja jest malejąca. Gdy a = 0, funkcja jest stała (linia pozioma).

Przykład: Dla funkcji f(x) = 2x + 3, a = 2, więc funkcja jest rosnąca. Dla f(x) = -x + 5, a = -1, więc funkcja jest malejąca.

Wyraz wolny (b): Określa punkt przecięcia prostej z osią Y. Czyli, gdy x = 0, wartość funkcji wynosi f(0) = b.

Przykład: Dla funkcji f(x) = 3x - 2, b = -2, więc prosta przecina oś Y w punkcie (0, -2).

Miejsce zerowe: To argument x, dla którego wartość funkcji wynosi zero, czyli f(x) = 0. Aby je znaleźć, rozwiązujemy równanie ax + b = 0. Miejsce zerowe wynosi wtedy x = -b/a (o ile a ≠ 0).

Przykład: Dla funkcji f(x) = x - 4, miejsce zerowe znajdujemy rozwiązując x - 4 = 0, więc x = 4.

Równoległość i prostopadłość prostych: Dwie proste o równaniach f(x) = a₁x + b₁ i g(x) = a₂x + b₂ są równoległe, jeśli ich współczynniki kierunkowe są równe: a₁ = a₂. Są prostopadłe, jeśli iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1: a₁ * a₂ = -1.

Przykład: Proste f(x) = 2x + 1 i g(x) = 2x - 3 są równoległe, ponieważ a₁ = a₂ = 2. Proste f(x) = 2x + 1 i g(x) = -1/2x + 4 są prostopadłe, ponieważ 2 * (-1/2) = -1.

Zastosowania w praktyce

Funkcje liniowe znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach. Możesz ich używać do modelowania liniowego wzrostu lub spadku. Na przykład, jeśli wiesz, że cena produktu rośnie liniowo o 5 zł każdego miesiąca, możesz to opisać za pomocą funkcji liniowej. Albo, jeśli samochód zużywa 8 litrów paliwa na każde 100 km, możesz obliczyć zużycie paliwa w zależności od przejechanej odległości za pomocą funkcji liniowej.

Innym przykładem jest konwersja jednostek. Przeliczenie stopni Celsjusza na Fahrenheita jest opisane funkcją liniową. Podobnie przeliczanie walut przy stałym kursie wymiany.

W fizyce, funkcja liniowa opisuje ruch jednostajny prostoliniowy, gdzie prędkość jest stała. Położenie ciała zmienia się liniowo w czasie.

Zrozumienie funkcji liniowej to fundament dla wielu innych zagadnień matematycznych i fizycznych. To narzędzie, które pomaga analizować i modelować proste, ale ważne zależności w otaczającym nas świecie.