Funkcja F Przyporządkowuje Każdej Liczbie Naturalnej Większej Od 1

Dobra, spróbujmy to wyjaśnić krok po kroku. Załóżmy, że mamy funkcję F, która działa na liczbach naturalnych. Pamiętajmy, że liczby naturalne to 1, 2, 3, 4, 5 i tak dalej… Ale uwaga! Nasza funkcja F interesuje się tylko liczbami większymi od 1. Czyli zaczynamy od 2, 3, 4, 5 i dalej w nieskończoność.

Co ta funkcja F robi z każdą taką liczbą? Przyporządkowuje jej coś. To "coś" może być liczbą, literą, innym zbiorem. Ważne jest, żeby dla każdej liczby naturalnej większej od 1, funkcja F dawała nam konkretny wynik.

Wyobraźmy sobie maszynę. Wrzucamy do niej liczbę (np. 5), a ona, po jakimś "przetworzeniu", wypluwa inną rzecz. Ta maszyna to właśnie funkcja F.

Konkretne przykłady funkcji F

Powiedzmy, że funkcja F robi tak: każdej liczbie naturalnej większej od 1 przypisuje jej kwadrat. Czyli:

F(2) = 2 * 2 = 4
F(3) = 3 * 3 = 9
F(4) = 4 * 4 = 16
F(5) = 5 * 5 = 25

I tak dalej. Widzimy, że dla każdej liczby większej od 1, dostajemy konkretny wynik.

Inny przykład. Funkcja F każdej liczbie naturalnej większej od 1 przypisuje jej największy dzielnik pierwszy. Co to znaczy?

Najpierw musimy znaleźć wszystkie dzielniki danej liczby.
Potem wybrać te, które są liczbami pierwszymi (czyli dzielą się tylko przez 1 i samą siebie).
Na koniec wybrać największy z tych pierwszych dzielników.

Zatem:

F(2) = 2 (bo 2 jest liczbą pierwszą i jedynym dzielnikiem pierwszym 2)
F(3) = 3 (podobnie, 3 jest liczbą pierwszą i jedynym dzielnikiem pierwszym 3)
F(4) = 2 (dzielniki 4 to 1, 2, 4. Liczby pierwsze wśród nich to tylko 2. Zatem największy dzielnik pierwszy to 2)
F(5) = 5 (5 jest liczbą pierwszą)
F(6) = 3 (dzielniki 6 to 1, 2, 3, 6. Liczby pierwsze to 2 i 3. Największy to 3)
F(7) = 7 (7 jest liczbą pierwszą)
F(8) = 2 (dzielniki 8 to 1, 2, 4, 8. Liczba pierwsza to tylko 2)
F(9) = 3 (dzielniki 9 to 1, 3, 9. Liczba pierwsza to tylko 3)
F(10) = 5 (dzielniki 10 to 1, 2, 5, 10. Liczby pierwsze to 2 i 5. Największy to 5)

I jeszcze jeden przykład. Funkcja F przypisuje każdej liczbie naturalnej większej od 1 resztę z dzielenia tej liczby przez 3. Reszta z dzielenia to to, co zostaje, gdy podzielimy liczbę i odrzucimy całe "trójki". Czyli:

F(2) = 2 (bo 2 podzielone przez 3 daje 0 "trójek" i resztę 2)
F(3) = 0 (bo 3 podzielone przez 3 daje 1 "trójkę" i resztę 0)
F(4) = 1 (bo 4 podzielone przez 3 daje 1 "trójkę" i resztę 1)
F(5) = 2 (bo 5 podzielone przez 3 daje 1 "trójkę" i resztę 2)
F(6) = 0 (bo 6 podzielone przez 3 daje 2 "trójki" i resztę 0)
F(7) = 1 (bo 7 podzielone przez 3 daje 2 "trójki" i resztę 1)

Widzimy, że w tym przypadku wyniki naszej funkcji F mogą być tylko trzy: 0, 1 lub 2. Niezależnie jaką liczbę wrzucimy (większą od 1), zawsze dostaniemy jedną z tych trzech wartości.

Dziedzina i zbiór wartości funkcji F

Ważne jest, aby zrozumieć dwa pojęcia związane z funkcją: dziedzina i zbiór wartości.

Dziedzina to zbiór wszystkich liczb, które możemy "wrzucić" do naszej funkcji. W naszym przypadku, dziedziną są wszystkie liczby naturalne większe od 1. Czyli 2, 3, 4, 5, 6 i tak dalej, aż do nieskończoności. Nie możemy wrzucić liczby 1, ani liczby ujemnej, ani ułamka. Tylko liczby naturalne większe od 1.
Zbiór wartości to zbiór wszystkich wyników, które nasza funkcja może "wypluć". To zależy od tego, jaką konkretnie funkcję mamy. W przykładzie z kwadratami, zbiór wartości to kwadraty wszystkich liczb naturalnych większych od 1, czyli 4, 9, 16, 25, 36 i tak dalej. W przykładzie z największym dzielnikiem pierwszym, zbiór wartości to wszystkie liczby pierwsze (bo największy dzielnik pierwszy zawsze będzie liczbą pierwszą). W przykładzie z resztą z dzielenia przez 3, zbiór wartości to tylko trzy liczby: 0, 1 i 2.

Zrozumienie dziedziny i zbioru wartości jest bardzo ważne, bo pozwala nam lepiej zrozumieć, jak działa funkcja.

Dlaczego "przyporządkowuje"?

Słowo "przyporządkowuje" jest kluczowe. Oznacza to, że dla każdej liczby z dziedziny, mamy dokładnie jeden wynik. Nie może być tak, że wrzucamy 5 do naszej funkcji F i raz dostajemy 25, a innym razem 10. Funkcja musi być przewidywalna. Dla każdego wejścia, musi być jedno, konkretne wyjście.

Możemy sobie wyobrazić to jako połączenie. Każda liczba z dziedziny jest połączona strzałką z jedną, konkretną liczbą ze zbioru wartości. Nie może być tak, że z jednej liczby z dziedziny wychodzą dwie strzałki.

Podsumowanie

Funkcja F, o której mówimy, to taka maszyna, która bierze liczby naturalne większe od 1 i zamienia je na coś innego. Ważne jest, że dla każdej liczby wejściowej, dostajemy jeden, konkretny wynik. To "coś innego", na co zamienia nasza funkcja, zależy od konkretnej definicji tej funkcji. Może to być kwadrat liczby, jej największy dzielnik pierwszy, reszta z dzielenia przez jakąś liczbę, albo cokolwiek innego, co da się jednoznacznie określić dla każdej liczby naturalnej większej od 1.