Funkcja F Jest Określona Dla Każdej Liczby Rzeczywistej X Wzorem

Okej, spróbujmy to wyjaśnić w prosty sposób. Skupimy się na tym, co to znaczy, że funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej i jak wygląda wzór.

Funkcja, najprościej mówiąc, to takie "urządzenie", które przyjmuje coś na wejściu (argument), przetwarza to zgodnie z pewną zasadą i wypuszcza coś na wyjściu (wartość funkcji). Ta "zasada" jest właśnie tym, co opisuje wzór funkcji.

"Określona dla każdej liczby rzeczywistej" oznacza, że możemy wstawić dowolną liczbę rzeczywistą do tego "urządzenia" i ono bez problemu nam coś zwróci. Nie ma żadnych liczb, dla których funkcja "się zepsuje", "zaciśnie" lub "wyda błąd". Innymi słowy, nie ma żadnych ograniczeń co do tego, jakie liczby możemy podać jako argument funkcji.

Liczby rzeczywiste to wszystkie liczby, które znamy i używamy na co dzień. To liczby dodatnie, ujemne, zero, ułamki, liczby całkowite, a także liczby niewymierne, takie jak pierwiastek z 2 czy liczba pi (π). Oznacza to, że możemy wstawić do funkcji -5, 0, 3.14, √2, 1000000, -0.0001, a nawet bardzo skomplikowane wyrażenia z udziałem tych liczb, i funkcja zawsze da nam jakąś odpowiedź.

Żeby to lepiej zrozumieć, pomyślmy o przykładach funkcji, które nie są określone dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Funkcja 1/x (jeden przez x): Ta funkcja nie jest określona dla x=0. Dlaczego? Bo nie możemy dzielić przez zero. Dzielenie przez zero jest niedozwolone w matematyce. Jeśli spróbujemy wstawić 0 do tej funkcji, dostaniemy 1/0, co jest wyrażeniem nieokreślonym. Zatem funkcja 1/x jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych oprócz zera.
Funkcja √x (pierwiastek kwadratowy z x): Ta funkcja, jeśli mówimy o liczbach rzeczywistych, nie jest określona dla liczb ujemnych. Nie możemy obliczyć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej (otrzymamy wtedy liczby zespolone, ale to już inna historia). Jeśli spróbujemy wstawić -4 do tej funkcji, dostaniemy √-4, co nie ma rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych. Zatem funkcja √x jest określona tylko dla liczb rzeczywistych nieujemnych (czyli 0 i liczby dodatnie).

W naszym przypadku, zdanie "Funkcja F jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem..." mówi nam, że bez względu na to, jaką liczbę rzeczywistą wstawimy za x do wzoru funkcji F, zawsze otrzymamy wynik. Żadna liczba nie spowoduje problemów, dzielenia przez zero, pierwiastkowania z liczb ujemnych, czy innych tego typu przeszkód.

Wzór funkcji to tak naprawdę jej definicja. To on mówi, co dokładnie funkcja robi z argumentem (czyli tym, co w nią wkładamy – zazwyczaj oznaczonym literą 'x'). Wzór może być bardzo prosty, np. F(x) = x + 1 (do liczby x dodajemy 1), albo bardzo skomplikowany, np. F(x) = x³ - 5x² + 2x - 7. Ważne jest, że ten wzór precyzyjnie określa, jak obliczyć wartość funkcji dla danej wartości x.

Spróbujmy rozważyć kilka przykładów funkcji, które są określone dla wszystkich liczb rzeczywistych i zobaczyć, jak wyglądają ich wzory:

F(x) = x + 5: Ta funkcja po prostu dodaje 5 do każdej liczby x. Możemy wstawić dowolną liczbę za x, np. F(2) = 2 + 5 = 7, F(-3) = -3 + 5 = 2, F(0) = 0 + 5 = 5. Nie ma żadnych ograniczeń, możemy wstawić dowolną liczbę rzeczywistą.
F(x) = 2x: Ta funkcja mnoży każdą liczbę x przez 2. Znowu, możemy wstawić dowolną liczbę za x, np. F(4) = 2 * 4 = 8, F(-1) = 2 * (-1) = -2, F(0.5) = 2 * 0.5 = 1. Nie ma żadnych problemów z żadną liczbą rzeczywistą.
F(x) = x²: Ta funkcja podnosi każdą liczbę x do kwadratu. F(3) = 3² = 9, F(-2) = (-2)² = 4, F(0) = 0² = 0. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze liczbą rzeczywistą, więc ta funkcja też jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych.
F(x) = x³ - 3x + 1: Ta funkcja jest trochę bardziej skomplikowana, ale nadal jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. Możemy wstawić dowolną liczbę za x i zawsze otrzymamy jakiś wynik. To dlatego, że funkcja składa się tylko z dodawania, odejmowania i mnożenia – operacji, które są zawsze wykonywalne dla liczb rzeczywistych.

Jak Rozpoznać, Czy Funkcja Jest Określona Dla Wszystkich Liczb Rzeczywistych?

Najprościej mówiąc, trzeba sprawdzić, czy we wzorze funkcji nie ma operacji, które mogą powodować problemy dla pewnych liczb. Oto na co warto zwrócić uwagę:

Dzielenie: Jeśli we wzorze jest dzielenie, trzeba sprawdzić, czy mianownik (to, co jest na dole ułamka) może być równy zero. Jeśli tak, to funkcja nie jest określona dla tych wartości x, dla których mianownik wynosi zero.
Pierwiastki kwadratowe (i inne pierwiastki parzystego stopnia): Jeśli we wzorze jest pierwiastek kwadratowy, czwartego stopnia, szóstego stopnia, itd., trzeba sprawdzić, czy wyrażenie pod pierwiastkiem może być ujemne. Jeśli tak, to funkcja nie jest określona dla tych wartości x, dla których wyrażenie pod pierwiastkiem jest ujemne.
Logarytmy: Logarytmy są określone tylko dla liczb dodatnich. Jeśli we wzorze jest logarytm, trzeba sprawdzić, czy wyrażenie, z którego liczymy logarytm, może być ujemne lub równe zero. Jeśli tak, to funkcja nie jest określona dla tych wartości x, dla których wyrażenie w logarytmie jest niedodatnie.

Jeśli we wzorze funkcji nie ma żadnych z tych "niebezpiecznych" operacji, to najprawdopodobniej funkcja jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. Ale zawsze warto sprawdzić, czy nie ma jakichś ukrytych pułapek!

Na przykład, funkcja F(x) = (x² + 1) / (x² + 1) na pierwszy rzut oka wygląda jakby miała potencjalny problem z dzieleniem, ale zauważmy, że mianownik (x² + 1) nigdy nie będzie równy zero dla żadnej liczby rzeczywistej x. Dlaczego? Bo x² jest zawsze większe lub równe zero, a więc x² + 1 jest zawsze większe lub równe 1. Zatem, ta funkcja jest w rzeczywistości zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych i upraszcza się do F(x) = 1.

Przykłady i Ćwiczenia

Spróbujmy teraz przejść przez kilka przykładów i zastanowić się, czy są one określone dla wszystkich liczb rzeczywistych.

F(x) = 3x - 7: Ta funkcja jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. Nie ma dzielenia, pierwiastków, logarytmów. Po prostu mnożymy x przez 3 i odejmujemy 7. Możemy wstawić dowolną liczbę za x.
F(x) = x / (x - 2): Ta funkcja nie jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. Mamy dzielenie, a mianownik (x - 2) może być równy zero, gdy x = 2. Zatem, funkcja jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych oprócz 2.
F(x) = √(x + 3): Ta funkcja nie jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. Mamy pierwiastek kwadratowy, a wyrażenie pod pierwiastkiem (x + 3) musi być nieujemne. To oznacza, że x + 3 >= 0, czyli x >= -3. Zatem, funkcja jest określona tylko dla liczb rzeczywistych większych lub równych -3.
F(x) = |x| (wartość bezwzględna z x): Ta funkcja jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. Wartość bezwzględna z dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze liczbą rzeczywistą.
F(x) = 5: Ta funkcja jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. Niezależnie co wstawimy za x, funkcja zawsze zwraca 5.

Pamiętaj, że kluczem do zrozumienia, czy funkcja jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, jest sprawdzenie, czy we wzorze funkcji nie ma operacji, które mogłyby "zepsuć" się dla pewnych wartości x. Zwróć uwagę na dzielenie, pierwiastki parzystego stopnia i logarytmy. Jeśli ich nie ma, albo jeśli wiesz, że nie spowodują problemów, to funkcja prawdopodobnie jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych.

Mam nadzieję, że teraz rozumiesz to trochę lepiej! Powodzenia w dalszej nauce matematyki!