Działania Na Liczbach Dodatnich I Ujemnych Klasa 7

Hej Klaso 7! Witajcie w naszym przewodniku, który pomoże Wam opanować działania na liczbach dodatnich i ujemnych! Wiem, że początki z liczbami ujemnymi mogą być trochę straszne, ale obiecuję, że z odrobiną praktyki i zrozumienia zasad, stanie się to dla Was bułka z masłem! Przygotujcie notatniki i zaczynamy!

Czym są liczby dodatnie i ujemne?

Zacznijmy od podstaw. Liczby dodatnie to wszystkie liczby większe od zera. Możemy je sobie wyobrazić jako to, co mamy, co posiadamy. Na osi liczbowej znajdują się po prawej stronie zera. Zwykle piszemy je bez znaku, np. 5, 12, 100. Możemy też zapisać je ze znakiem "+", np. +5, +12, +100, ale nie jest to konieczne.

Liczby ujemne to liczby mniejsze od zera. Wyobraźcie je sobie jako długi, debety, coś, co jesteśmy komuś winni. Na osi liczbowej znajdują się po lewej stronie zera. Zawsze piszemy je ze znakiem "-", np. -5, -12, -100. Ten znak jest bardzo ważny, ponieważ to on odróżnia liczbę ujemną od dodatniej!

Oś liczbowa to prosta, na której zaznaczone są liczby w kolejności. Zero znajduje się w środku, liczby dodatnie po prawej, a ujemne po lewej. Oś liczbowa jest bardzo pomocna w wizualizacji i zrozumieniu działań na liczbach dodatnich i ujemnych.

Dodawanie liczb dodatnich i ujemnych

Dodawanie jest jednym z podstawowych działań, dlatego musimy je dobrze opanować. Przy dodawaniu liczb dodatnich sprawa jest prosta – po prostu dodajemy je do siebie tak, jak robiliśmy to wcześniej. Na przykład:

3 + 5 = 8
12 + 25 = 37

Ale co się dzieje, gdy dodajemy liczby ujemne?

Dodawanie dwóch liczb ujemnych: Wyobraźcie sobie, że macie dług 3 zł i kolejny dług 5 zł. Łącznie macie dług 8 zł. Czyli -3 + (-5) = -8. Reguła: Dodajemy wartości bezwzględne liczb, a wynikowi dopisujemy znak minus.
Dodawanie liczby dodatniej i ujemnej: Tutaj robi się trochę ciekawiej. Musimy zobaczyć, która z liczb ma większą wartość bezwzględną (czyli wartość bez znaku).
- Jeżeli liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną, to wynik będzie dodatni. Na przykład: 5 + (-2) = 3. Mamy 5 zł, a jesteśmy winni 2 zł. Po spłacie długu zostaje nam 3 zł.
- Jeżeli liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną, to wynik będzie ujemny. Na przykład: -5 + 2 = -3. Jesteśmy winni 5 zł, a mamy tylko 2 zł. Po oddaniu wszystkiego, nadal jesteśmy winni 3 zł.
- Jeżeli liczby mają taką samą wartość bezwzględną, ale różne znaki, to wynik jest równy zero. Na przykład: 5 + (-5) = 0.

Odejmowanie liczb dodatnich i ujemnych

Odejmowanie liczb ujemnych może wydawać się trudne, ale wcale takie nie jest. Kluczem jest zrozumienie, że odejmowanie liczby ujemnej jest tym samym, co dodawanie liczby dodatniej!

Odejmowanie liczby dodatniej od liczby dodatniej: To już znamy. Na przykład: 8 - 3 = 5.
Odejmowanie liczby ujemnej od liczby dodatniej: Zamieniamy odejmowanie na dodawanie. Na przykład: 5 - (-2) = 5 + 2 = 7. Wyobraźcie sobie, że macie 5 zł, a ktoś zabiera Wam dług 2 zł. Teraz macie o 2 zł więcej, czyli łącznie 7 zł!
Odejmowanie liczby dodatniej od liczby ujemnej: Na przykład: -3 - 5 = -3 + (-5) = -8. Jesteśmy winni 3 zł, a potem zaciągamy kolejny dług 5 zł. Teraz jesteśmy winni łącznie 8 zł.
Odejmowanie liczby ujemnej od liczby ujemnej: Na przykład: -2 - (-5) = -2 + 5 = 3. Jesteśmy winni 2 zł, ale ktoś nam oddaje 5 zł. Po spłacie długu zostaje nam 3 zł.

Mnożenie liczb dodatnich i ujemnych

Mnożenie liczb dodatnich i ujemnych rządzi się prostymi zasadami:

Dodatnia razy dodatnia = Dodatnia. Na przykład: 3 * 5 = 15.
Dodatnia razy ujemna = Ujemna. Na przykład: 3 * (-5) = -15.
Ujemna razy dodatnia = Ujemna. Na przykład: -3 * 5 = -15.
Ujemna razy ujemna = Dodatnia. Na przykład: -3 * (-5) = 15.

Podsumowując: Jeżeli mnożymy (lub dzielimy) dwie liczby o takich samych znakach, wynik jest dodatni. Jeżeli mnożymy (lub dzielimy) dwie liczby o różnych znakach, wynik jest ujemny.

Dzielenie liczb dodatnich i ujemnych

Zasady dzielenia są identyczne jak zasady mnożenia:

Dodatnia podzielona przez dodatnią = Dodatnia. Na przykład: 10 / 2 = 5.
Dodatnia podzielona przez ujemną = Ujemna. Na przykład: 10 / (-2) = -5.
Ujemna podzielona przez dodatnią = Ujemna. Na przykład: -10 / 2 = -5.
Ujemna podzielona przez ujemną = Dodatnia. Na przykład: -10 / (-2) = 5.

Kolejność wykonywania działań

Pamiętajcie o kolejności wykonywania działań! To bardzo ważne, żeby rozwiązywać zadania poprawnie. Pamiętamy o PEMDAS/BODMAS:

Parentheses / Brackets (Nawiasy)
Exponents / Orders (Potęgowanie i pierwiastkowanie)
Multiplication and Division (Mnożenie i dzielenie) - od lewej do prawej
Addition and Subtraction (Dodawanie i odejmowanie) - od lewej do prawej

Przykłady i Ćwiczenia

Rozwiążmy kilka przykładów:

-7 + 3 * 2 = -7 + 6 = -1 (Najpierw mnożenie, potem dodawanie)
(4 - 9) * (-2) = -5 * (-2) = 10 (Najpierw nawias, potem mnożenie)
12 / (-3) - 4 = -4 - 4 = -8 (Najpierw dzielenie, potem odejmowanie)
-2 * (-5 + 1) = -2 * (-4) = 8 (Najpierw nawias, potem mnożenie)

Teraz czas na Was! Spróbujcie rozwiązać te zadania:

-8 + 5 = ?
6 - (-3) = ?
-4 * 2 = ?
15 / (-5) = ?
-2 + 3 * (-1) = ?
(7 - 10) / 3 = ?

Odp: 1. -3, 2. 9, 3. -8, 4. -3, 5. -5, 6. -1

Wskazówki i Triki

Używaj osi liczbowej: Jeżeli masz problem z wyobrażeniem sobie działania, narysuj oś liczbową i "przesuwaj się" po niej w zależności od znaku liczby.
Myśl o długach i pieniądzach: Jeżeli masz liczbę ujemną, wyobraź sobie, że to dług. Jeżeli masz liczbę dodatnią, wyobraź sobie, że to pieniądze.
Pamiętaj o znakach: Zwracaj szczególną uwagę na znaki przed liczbami. To one decydują o wyniku!
Ćwicz, ćwicz, ćwicz! Im więcej zadań rozwiążesz, tym lepiej zrozumiesz zasady.

Podsumowanie

Oto najważniejsze punkty, które warto zapamiętać:

Liczby dodatnie: większe od zera, mogą być zapisywane ze znakiem "+" lub bez.
Liczby ujemne: mniejsze od zera, zawsze zapisywane ze znakiem "-".
Dodawanie liczb o różnych znakach: odejmujemy wartości bezwzględne, a wynik ma znak liczby o większej wartości bezwzględnej.
Odejmowanie liczby ujemnej: to to samo, co dodawanie liczby dodatniej.
Mnożenie i dzielenie:
- Te same znaki = wynik dodatni.
- Różne znaki = wynik ujemny.
Kolejność działań: Pamiętaj o PEMDAS/BODMAS!

Pamiętajcie, że nikt nie rodzi się ekspertem. Potrzeba czasu i praktyki, żeby wszystko zrozumieć. Nie bójcie się pytać, jeżeli czegoś nie wiecie. Powodzenia na egzaminie! Wierzę w Was!