Dwusieczne Kątów Trójkąta Abc Dzielą Go Na Sześć Trójkątów

W geometrii trójkąta kryje się wiele fascynujących zależności i konstrukcji. Jedną z nich, wartą głębszego zbadania, jest interakcja dwusiecznych kątów trójkąta z jego wnętrzem i sposobem, w jaki dzielą go na mniejsze figury. Skupmy się na trójkącie ABC i przeanalizujmy, jak dwusieczne jego kątów tworzą sześć mniejszych trójkątów.

Rozważmy trójkąt ABC. Rysujemy dwusieczne kątów wewnętrznych A, B i C. Dwusieczna kąta to prosta wychodząca z wierzchołka kąta i dzieląca go na dwa równe kąty. Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który nazywamy środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Oznaczmy ten punkt przez I.

Teraz popatrzmy na to, co się stało. Dwusieczna kąta A, powiedzmy AD, dzieli trójkąt ABC na dwa mniejsze trójkąty: ABD i ACD. Analogicznie, dwusieczna kąta B, powiedzmy BE, dzieli trójkąt ABC na trójkąty ABE i BCE, a dwusieczna kąta C, powiedzmy CF, dzieli trójkąt ABC na trójkąty ACF i BCF.

Punkt I, jako punkt przecięcia dwusiecznych, leży wewnątrz każdego z tych mniejszych trójkątów utworzonych przez jedną dwusieczną. Na przykład, I leży wewnątrz trójkątów ABD i ACD. Możemy więc narysować odcinki AI, BI i CI. Te odcinki, wraz z fragmentami dwusiecznych (od wierzchołków do punktu I) dzielą trójkąt ABC na sześć mniejszych trójkątów. Są to trójkąty: AIB, BIC, CIA, AIF, BIF, CID, AID, BIE i CIE. Jednakże niektóre z nich się nakładają. Chodzi o podział na: AFI, BFI, BDI, CDI, AEI i CEI.

Zauważmy, że w każdym z tych sześciu trójkątów, jeden z wierzchołków jest punktem I – środkiem okręgu wpisanego. To prowadzi nas do ciekawej obserwacji: odległość od punktu I do każdego z boków trójkąta ABC jest taka sama i równa promieniowi okręgu wpisanego. Oznaczmy tę odległość przez r. Oznacza to, że wysokość każdego z trójkątów AFI, BFI, BDI, CDI, AEI i CEI, opuszczona z wierzchołka I, wynosi r.

Własności Powstałych Trójkątów

Zastanówmy się, co wiemy o kątach w powstałych trójkątach. Weźmy trójkąt AFI. Kąt FAI jest połową kąta A w trójkącie ABC. Kąt AFI jest kątem prostym, ponieważ promień okręgu wpisanego jest prostopadły do boku trójkąta w punkcie styczności. Zatem kąt AIF jest dopełnieniem sumy tych kątów do 180 stopni. Analogiczne rozumowanie możemy przeprowadzić dla pozostałych pięciu trójkątów.

Możemy również wyrazić pole trójkąta ABC jako sumę pól tych sześciu trójkątów. Oznaczmy długości boków trójkąta ABC przez a, b i c, gdzie a to długość boku BC, b to długość boku AC, a c to długość boku AB. Wówczas pole trójkąta ABC, oznaczone przez P, można wyrazić jako:

P = Pole(AFI) + Pole(BFI) + Pole(BDI) + Pole(CDI) + Pole(AEI) + Pole(CEI)

Ponieważ wysokość każdego z tych trójkątów wynosi r, a podstawami są odpowiednio AF, BF, BD, CD, AE i CE, możemy napisać:

P = (1/2) * AF * r + (1/2) * BF * r + (1/2) * BD * r + (1/2) * CD * r + (1/2) * AE * r + (1/2) * CE * r

Wyciągając (1/2) * r przed nawias, otrzymujemy:

P = (1/2) * r * (AF + BF + BD + CD + AE + CE)

Zauważmy, że AF + CE = b, BF + AE = c, a BD + CD = a. Zatem:

P = (1/2) * r * (a + b + c)

Ponieważ a + b + c to obwód trójkąta ABC, oznaczmy go przez 2p (gdzie p to połowa obwodu – tzw. półobwód). Wtedy:

P = r * p

To jest znany wzór na pole trójkąta, wyrażony przez promień okręgu wpisanego i półobwód. Uzyskaliśmy go, analizując podział trójkąta na sześć mniejszych trójkątów przez dwusieczne kątów.

Możemy również zbadać relacje pomiędzy kątami w tych sześciu trójkątach. Na przykład, kąt BIF jest kątem zewnętrznym trójkąta ABI. Zatem kąt BIF jest sumą kątów BAI i ABI. Wiemy, że kąt BAI to połowa kąta A, a kąt ABI to połowa kąta B. Zatem:

Kąt BIF = (1/2) * A + (1/2) * B

Analogicznie, możemy wyrazić inne kąty w powstałych trójkątach za pomocą kątów A, B i C trójkąta ABC.

Dalsze Rozważania

Interesujące jest również rozważenie, co się dzieje, gdy trójkąt ABC jest szczególnego rodzaju. Na przykład, jeśli trójkąt ABC jest równoboczny, to wszystkie sześć trójkątów, na które dzielą go dwusieczne, są przystające. Wynika to z faktu, że kąty w trójkącie równobocznym mają miarę 60 stopni, a więc połowy tych kątów mają miarę 30 stopni. Ponadto, odległość od środka trójkąta równobocznego do każdego z boków jest taka sama.

Jeśli trójkąt ABC jest równoramienny, ale nie równoboczny, to niektóre z sześciu trójkątów będą przystające, ale nie wszystkie. Na przykład, jeśli AB = AC, to trójkąty AFI i AEI będą przystające.

Podsumowując, podział trójkąta ABC na sześć mniejszych trójkątów za pomocą dwusiecznych kątów wewnętrznych prowadzi do interesujących obserwacji i zależności. Punkt przecięcia dwusiecznych, czyli środek okręgu wpisanego, odgrywa kluczową rolę, a analiza pól i kątów w powstałych trójkątach pozwala na uzyskanie ciekawych wyników i powiązanie ich z własnościami trójkąta ABC.