Dwa Walce Maja Taka Sama Wysokosc Promien Podstawy Jednego

Dwa walce, choć na pierwszy rzut oka mogą wydawać się identyczne, kryją w sobie fascynujące relacje matematyczne, szczególnie gdy skupimy się na ich wysokości i promieniu podstawy. Przyjrzyjmy się bliżej sytuacji, w której dwa walce mają tę samą wysokość, a promień podstawy jednego z nich... no właśnie, co dalej?

Załóżmy, że pierwszy walec ma promień podstawy oznaczony jako r1, a drugi walec ma promień r2. Oba walce charakteryzują się identyczną wysokością, którą oznaczymy jako h. Co się stanie, gdy promienie r1 i r2 będą różne? Jak wpłynie to na objętość i pole powierzchni tych brył?

Objętość walca obliczamy ze wzoru V = πr²h. W przypadku naszego pierwszego walca, jego objętość (V1) wyniesie V1 = πr1²h. Analogicznie, objętość drugiego walca (V2) to V2 = πr2²h. Porównując te dwa wzory, zauważamy, że przy stałej wysokości h, objętość walca jest wprost proporcjonalna do kwadratu promienia jego podstawy. Oznacza to, że jeśli r2 jest większe od r1, to V2 będzie większe od V1, i to w kwadracie tej różnicy promieni. Na przykład, jeśli r2 jest dwa razy większe od r1, to V2 będzie cztery razy większe od V1.

Pole powierzchni walca składa się z dwóch kół (podstaw) i powierzchni bocznej. Pole powierzchni pierwszego walca (P1) to P1 = 2πr1² + 2πr1h. Podobnie, pole powierzchni drugiego walca (P2) to P2 = 2πr2² + 2πr2h. Analizując te wzory, widzimy, że pole powierzchni zależy zarówno od kwadratu promienia (podstawy), jak i od samego promienia (powierzchnia boczna). Zatem zmiana promienia będzie miała wpływ na pole powierzchni w sposób bardziej złożony niż na objętość.

Teraz, zróbmy mały eksperyment myślowy. Wyobraźmy sobie, że mamy dwa walce o tej samej wysokości h = 5 cm. Promień pierwszego walca r1 = 2 cm, a promień drugiego r2 = 3 cm. Obliczmy ich objętości i pola powierzchni.

V1 = π * (2 cm)² * 5 cm = 20π cm³ ≈ 62.83 cm³ P1 = 2π * (2 cm)² + 2π * 2 cm * 5 cm = 8π cm² + 20π cm² = 28π cm² ≈ 87.96 cm²

V2 = π * (3 cm)² * 5 cm = 45π cm³ ≈ 141.37 cm³ P2 = 2π * (3 cm)² + 2π * 3 cm * 5 cm = 18π cm² + 30π cm² = 48π cm² ≈ 150.80 cm²

Widzimy, że mimo relatywnie niewielkiej różnicy w promieniach, objętość drugiego walca jest ponad dwa razy większa od objętości pierwszego. Różnica w polu powierzchni również jest znacząca.

Stosunek Objętości i Pól Powierzchni

Skupmy się teraz na stosunku objętości i pól powierzchni. Stosunek objętości V2 do V1 wynosi V2/V1 = (πr2²h) / (πr1²h) = (r2/r1)². Widzimy, że stosunek objętości jest równy kwadratowi stosunku promieni.

Natomiast stosunek pól powierzchni P2 do P1 jest bardziej skomplikowany:

P2/P1 = (2πr2² + 2πr2h) / (2πr1² + 2πr1h) = (r2² + r2h) / (r1² + r1h) = r2(r2 + h) / r1(r1 + h)

Zauważmy, że stosunek pól powierzchni zależy zarówno od stosunku promieni, jak i od wysokości h. Jeśli wysokość jest bardzo duża w porównaniu do promieni, to stosunek pól powierzchni zbliża się do stosunku promieni: P2/P1 ≈ r2h / r1h = r2/r1. Jeśli natomiast wysokość jest bardzo mała w porównaniu do promieni, to stosunek pól powierzchni zbliża się do kwadratu stosunku promieni: P2/P1 ≈ r2² / r1² = (r2/r1)².

Wpływ Wysokości na Relacje

Jak już wspomniano, wysokość h odgrywa istotną rolę w relacji pomiędzy polami powierzchni. Zastanówmy się, co się stanie, gdy wysokość dąży do nieskończoności. Wtedy pola powierzchni obu walców zdominowane są przez powierzchnię boczną, a stosunek pól powierzchni zbliża się do stosunku promieni. W praktyce oznacza to, że bardzo wysokie walce, nawet przy różnej szerokości, będą miały pola powierzchni, które różnią się w sposób proporcjonalny do różnicy ich promieni.

Z kolei, jeśli wysokość dąży do zera, walce stają się bardzo płaskie, a ich pola powierzchni zdominowane są przez pola podstaw. W takim przypadku, stosunek pól powierzchni zbliża się do kwadratu stosunku promieni. Innymi słowy, płaskie walce, z wyraźną różnicą w promieniach, będą miały pola powierzchni, które różnią się znacząco, bo kwadratowo, ze względu na tę różnicę w promieniach.

Przeanalizujmy przykład. Załóżmy, że r1 = 1 cm i r2 = 2 cm.

Wysoka wysokość: h = 100 cm P1 = 2π * 1² + 2π * 1 * 100 = 2π + 200π = 202π cm² P2 = 2π * 2² + 2π * 2 * 100 = 8π + 400π = 408π cm² P2/P1 ≈ 408π / 202π ≈ 2.02 (blisko r2/r1 = 2)
Niska wysokość: h = 0.1 cm P1 = 2π * 1² + 2π * 1 * 0.1 = 2π + 0.2π = 2.2π cm² P2 = 2π * 2² + 2π * 2 * 0.1 = 8π + 0.4π = 8.4π cm² P2/P1 ≈ 8.4π / 2.2π ≈ 3.82 (blisko (r2/r1)² = 4)

Jak widać, nasze obliczenia potwierdzają teoretyczne przewidywania.

Podsumowując, dwa walce o tej samej wysokości, ale różnych promieniach podstawy, będą miały różne objętości i pola powierzchni. Różnice te zależą od kwadratu stosunku promieni w przypadku objętości, natomiast w przypadku pól powierzchni, zależą od zarówno od stosunku promieni, jak i od wysokości walców. Zależność ta jest szczególnie wyraźna, gdy wysokość jest bardzo duża lub bardzo mała w porównaniu do promieni. Analiza tych relacji pozwala na lepsze zrozumienie geometrii przestrzennej i zależności między parametrami brył.