Dwa Jednakowe Kwadraty O Przekątnych Długości 12 Cm Przecinają Się

Dobrze, postaram się odpowiedzieć na pytanie o dwóch identycznych kwadratach o przekątnych długości 12 cm, które się przecinają, w sposób prosty i zrozumiały.

Wyobraź sobie dwa identyczne kwadraty. Obydwa są tej samej wielkości i mają tę samą formę. Każdy z tych kwadratów ma przekątną, czyli linię łączącą dwa przeciwległe wierzchołki (rogi). Długość tej przekątnej wynosi 12 cm. To ważne, bo przekątna pomoże nam zrozumieć wiele rzeczy o kwadracie, w tym jego bok.

Teraz wyobraź sobie, że te dwa kwadraty zaczynają się przecinać. Mogą się przecinać w różny sposób. Jeden może być przesunięty w stosunku do drugiego, mogą być obrócone względem siebie, albo ich środki mogą się pokrywać. To, jak się przecinają, wpłynie na kształt i pole powierzchni części wspólnej, czyli tego obszaru, gdzie kwadraty na siebie nachodzą.

Żeby zrozumieć, co się dzieje, najpierw pomyślmy o jednym kwadracie. Skoro wiemy, że przekątna ma 12 cm, możemy obliczyć długość boku kwadratu. Pamiętaj, że kwadrat ma cztery równe boki i cztery kąty proste. Przekątna kwadratu dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne. Możemy użyć twierdzenia Pitagorasa, żeby znaleźć długość boku. Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych (krótsze boki) jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej (najdłuższy bok). U nas przeciwprostokątna to przekątna kwadratu (12 cm), a przyprostokątne to boki kwadratu (oba mają taką samą długość, którą chcemy znaleźć).

Nazwijmy długość boku kwadratu "a". Z twierdzenia Pitagorasa mamy: a² + a² = 12². To upraszczamy do 2a² = 144. Dzielimy obie strony przez 2, więc a² = 72. Teraz bierzemy pierwiastek kwadratowy z obu stron, żeby znaleźć "a": a = √72. √72 to około 8.49 cm. Zatem bok kwadratu ma długość około 8.49 cm.

Pole powierzchni jednego kwadratu to bok pomnożony przez bok, czyli a * a = a² = 72 cm².

Obszar Przecięcia Kwadratów

To, jak duży obszar wspólny powstanie, zależy od tego, jak bardzo kwadraty się na siebie nałożą i pod jakim kątem. Jeśli kwadraty są przesunięte bardzo niewiele, to obszar wspólny będzie mały. Jeśli kwadraty są przesunięte tak, że prawie cały jeden kwadrat leży na drugim, to obszar wspólny będzie bardzo duży, bliski polu powierzchni jednego kwadratu.

Jeśli kwadraty są ułożone tak, że ich środki się pokrywają i boki są równoległe, to obszar wspólny będzie dokładnie taki sam jak pole jednego kwadratu, czyli 72 cm². W takim przypadku kwadraty po prostu leżą jeden na drugim.

Jeśli kwadraty są obrócone względem siebie, na przykład o 45 stopni, a ich środki się pokrywają, to obszar wspólny będzie miał inny kształt i inne pole. W tym przypadku obszar wspólny będzie ośmiokątem. Obliczenie jego pola jest trochę bardziej skomplikowane.

Pomyślmy o sytuacji, w której kwadraty są identycznie nałożone, ale jeden jest przesunięty w bok. Wtedy obszarem wspólnym będzie prostokąt. Jego pole będzie zależało od tego, o ile jeden kwadrat jest przesunięty w stosunku do drugiego.

Jeśli kwadraty przecinają się tylko w jednym wierzchołku, obszar wspólny będzie bardzo mały, praktycznie punktem.

Podsumowując, żeby dokładnie określić obszar wspólny dwóch kwadratów, potrzebujemy więcej informacji o tym, jak są ułożone względem siebie. Samo wiedza o długości przekątnej i fakcie, że kwadraty są identyczne, nie wystarcza. Musimy wiedzieć, jak są przesunięte, obrócone i jak blisko siebie leżą ich środki.

Przykładowe Obliczenia

Załóżmy, że kwadraty są ułożone tak, że ich środki się pokrywają, a jeden kwadrat jest obrócony o 45 stopni względem drugiego. Wtedy obszar wspólny jest ośmiokątem foremnym. Żeby obliczyć pole takiego ośmiokąta, możemy podzielić go na mniejsze figury, na przykład trójkąty i kwadraty.

W tym konkretnym przypadku pole ośmiokąta będzie równe polu jednego kwadratu pomnożonemu przez (2√2 - 2). Czyli pole ośmiokąta = 72 cm² * (2√2 - 2) ≈ 72 cm² * (2.828 - 2) ≈ 72 cm² * 0.828 ≈ 59.62 cm².

To tylko jeden przykład. Jak już wspomniałem, obszar wspólny może przyjmować różne wartości w zależności od ułożenia kwadratów.

Kluczowe jest, żeby zrozumieć, że obszar wspólny zależy od wzajemnego położenia kwadratów. Wiedza o długości przekątnej pozwala obliczyć bok kwadratu i jego pole, ale nie daje bezpośredniej odpowiedzi na pytanie o pole obszaru wspólnego. Potrzebne są dodatkowe informacje geometryczne.