Doprowadz Wzor Funkcji Kwadratowej Do Postaci Kanonicznej

No dobrze, spróbujmy to wytłumaczyć najprościej, jak się da. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej – brzmi groźnie, ale wcale takie nie jest. To po prostu inny sposób zapisania wzoru, który ujawnia pewne ważne informacje o paraboli, czyli wykresie tej funkcji.

Zacznijmy od przypomnienia, jak wygląda wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej:

f(x) = ax² + bx + c

Gdzie 'a', 'b' i 'c' to po prostu liczby. Teraz, postać kanoniczna wygląda trochę inaczej:

f(x) = a(x - p)² + q

Widzisz różnicę? Mamy tutaj 'a' (to samo 'a' co w postaci ogólnej), 'p' i 'q'. 'p' i 'q' to współrzędne wierzchołka paraboli, czyli punktu, w którym parabola "zawija" się. Konkretnie, wierzchołek ma współrzędne (p, q).

Jak przejść z postaci ogólnej do kanonicznej?

Są dwa główne sposoby. Omówię oba.

Sposób 1: Wzory na p i q

Ten sposób jest szybki, jeśli pamiętasz wzory. 'p' i 'q' możemy obliczyć bezpośrednio z współczynników 'a', 'b' i 'c' z postaci ogólnej.

• p = -b / 2a
• q = -Δ / 4a

Gdzie Δ (delta) to tzw. wyróżnik kwadratowy, który obliczamy ze wzoru:

• Δ = b² - 4ac

Czyli:

1. Oblicz deltę (Δ). Podstaw 'a', 'b' i 'c' do wzoru Δ = b² - 4ac i policz wynik.
2. Oblicz 'p'. Podstaw 'b' i 'a' do wzoru p = -b / 2a i policz wynik.
3. Oblicz 'q'. Podstaw deltę (którą już masz) oraz 'a' do wzoru q = -Δ / 4a i policz wynik.
4. Zapisz postać kanoniczną. Teraz masz 'a' (to samo co w postaci ogólnej), 'p' i 'q'. Podstaw je do wzoru f(x) = a(x - p)² + q. Gotowe!

Przykład:

Załóżmy, że mamy funkcję f(x) = 2x² + 8x + 5. Chcemy ją zapisać w postaci kanonicznej.

1. Oblicz deltę (Δ):
   • a = 2, b = 8, c = 5
   • Δ = 8² - 4 * 2 * 5 = 64 - 40 = 24
2. Oblicz 'p':
   • p = -8 / (2 * 2) = -8 / 4 = -2
3. Oblicz 'q':
   • q = -24 / (4 * 2) = -24 / 8 = -3
4. Zapisz postać kanoniczną:
   • f(x) = 2(x - (-2))² + (-3)
   • f(x) = 2(x + 2)² - 3

Czyli postać kanoniczna naszej funkcji to f(x) = 2(x + 2)² - 3. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (-2, -3).

Sposób 2: Uzupełnianie do pełnego kwadratu

Ten sposób jest bardziej "ręczny", ale pozwala lepiej zrozumieć, co się dzieje. Polega na przekształceniu wyrażenia ax² + bx + c tak, aby powstał kwadrat sumy lub różnicy.

1. Wyłącz 'a' przed nawias z dwóch pierwszych wyrazów. Czyli z ax² + bx wyciągamy 'a' przed nawias: a(x² + (b/a)x) + c
2. Uzupełnij wyrażenie w nawiasie do pełnego kwadratu. Chcemy, żeby x² + (b/a)x stało się czymś w stylu (x + coś)² lub (x - coś)². Robimy to tak:
   • Połowę współczynnika przy 'x' (czyli b/a) podnosimy do kwadratu: (b/2a)²
   • Dodajemy i odejmujemy ten wynik wewnątrz nawiasu: a(x² + (b/a)x + (b/2a)² - (b/2a)²) + c
3. Zwiń do kwadratu. Teraz wyrażenie x² + (b/a)x + (b/2a)² możemy zwinąć do kwadratu: a((x + b/2a)²) - (b/2a)²) + c
4. Uprość. Wymnóż 'a' przez nawias, a następnie uprość całe wyrażenie. Powinieneś otrzymać coś w stylu a(x - p)² + q.

Przykład (ten sam co poprzednio):

f(x) = 2x² + 8x + 5

1. Wyłącz 'a' przed nawias:
   • 2(x² + 4x) + 5
2. Uzupełnij do pełnego kwadratu:
   • Połowa współczynnika przy 'x' (czyli 4) to 2. 2² = 4
   • 2(x² + 4x + 4 - 4) + 5
3. Zwiń do kwadratu:
   • 2((x + 2)² - 4) + 5
4. Uprość:
   • 2(x + 2)² - 8 + 5
   • 2(x + 2)² - 3

Znowu otrzymaliśmy f(x) = 2(x + 2)² - 3.

Który sposób jest lepszy?

Sposób ze wzorami jest szybszy, ale wymaga zapamiętania wzorów. Sposób z uzupełnianiem do pełnego kwadratu jest bardziej czasochłonny, ale pozwala lepiej zrozumieć, co się dzieje i nie wymaga zapamiętywania wzorów (trzeba tylko pamiętać o wzorze skróconego mnożenia). Wybierz ten, który bardziej Ci odpowiada.

Kiedy to się przydaje?

Postać kanoniczna jest bardzo przydatna do:

• Odczytywania współrzędnych wierzchołka paraboli: (p, q)
• Określania, czy parabola ma wartość minimalną czy maksymalną: Jeśli a > 0, to parabola ma ramiona skierowane do góry i ma wartość minimalną w wierzchołku. Jeśli a < 0, to parabola ma ramiona skierowane do dołu i ma wartość maksymalną w wierzchołku.
• Rysowania wykresu funkcji kwadratowej: Znając wierzchołek i kierunek ramion, łatwo naszkicować wykres.
• Rozwiązywania zadań optymalizacyjnych: Często chcemy znaleźć największą lub najmniejszą wartość funkcji kwadratowej, a postać kanoniczna od razu nam to podpowiada.

Dodatkowe wskazówki:

• Pamiętaj, że w postaci kanonicznej mamy (x - p)², więc jeśli masz (x + 2)², to p = -2 (uwaga na znak!).
• Ćwicz! Im więcej przykładów rozwiążesz, tym łatwiej będzie Ci przekształcać funkcje kwadratowe do postaci kanonicznej.
• Sprawdzaj swoje wyniki! Możesz narysować wykres funkcji w postaci ogólnej i kanonicznej (np. używając kalkulatora graficznego online) i sprawdzić, czy wykresy się pokrywają.

Mam nadzieję, że to wyjaśnienie jest zrozumiałe. Jeśli masz jakieś pytania, śmiało pytaj!