Dodawanie Potęg O Tych Samych Podstawach I Wykładnikach

Dzień dobry wszystkim! Dzisiaj zajmiemy się dodawaniem potęg o tych samych podstawach i wykładnikach. Brzmi skomplikowanie? Spokojnie, zaraz zobaczycie, że to całkiem proste!

Zacznijmy od podstaw. Co to w ogóle jest potęga? Potęga to nic innego jak skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie kilka razy. Na przykład, 2 do potęgi 3 (zapisywane jako 2³) to 2 * 2 * 2, czyli 8. Liczba 2 to podstawa potęgi, a liczba 3 to wykładnik potęgi. Wykładnik mówi nam, ile razy podstawa ma być przez siebie pomnożona.

Teraz przejdźmy do sedna. Jak dodajemy potęgi, które mają taką samą podstawę i taki sam wykładnik? Ważne jest, aby pamiętać, że możemy dodawać tylko potęgi, które spełniają oba te warunki jednocześnie. To znaczy, podstawa musi być identyczna i wykładnik musi być identyczny. Nie możemy dodawać na przykład 2³ i 3³, ponieważ mają różne podstawy. Nie możemy też dodawać 2³ i 2⁴, ponieważ mają różne wykładniki.

Kiedy już upewnimy się, że potęgi, które chcemy dodać, mają tę samą podstawę i ten sam wykładnik, robimy to bardzo prosto. Po prostu dodajemy współczynniki liczbowe przed potęgami. Brzmi skomplikowanie? Spójrzmy na przykład:

Załóżmy, że mamy wyrażenie: 3 * 2⁵ + 5 * 2⁵. Widzimy, że obie potęgi to 2⁵, czyli mają taką samą podstawę (2) i taki sam wykładnik (5). Co robimy? Dodajemy liczby, które stoją przed potęgami, czyli 3 i 5. 3 + 5 = 8. W efekcie otrzymujemy: 8 * 2⁵. To wszystko!

Spójrzmy na inny przykład. Co jeśli mamy tylko 2⁵ + 2⁵? W takim przypadku możemy myśleć, że przed każdą potęgą stoi niewidoczna jedynka, czyli mamy tak naprawdę 1 * 2⁵ + 1 * 2⁵. Dodajemy jedynki: 1 + 1 = 2. Otrzymujemy więc 2 * 2⁵.

Jeszcze jeden przykład: 7 * 3² + 2 * 3² + 4 * 3². Wszystkie potęgi to 3², więc możemy je dodać. Dodajemy współczynniki: 7 + 2 + 4 = 13. Wynik to 13 * 3².

Kiedy Uważać?

Pamiętajcie! Dodawanie potęg to nie to samo, co potęgowanie potęg! To bardzo częsty błąd. Na przykład, 2⁵ + 2⁵ to 2 * 2⁵, a NIE 2¹⁰! 2¹⁰ to wynik potęgowania (2⁵)², czyli 2⁵ * 2⁵, a to już zupełnie inna operacja, której dzisiaj nie omawiamy.

Kolejny częsty błąd to próba dodawania potęg o różnych wykładnikach. Nie da się uprościć wyrażenia 2³ + 2⁴ w opisany powyżej sposób. Musimy obliczyć każdą potęgę osobno (2³ = 8, 2⁴ = 16) i dopiero wtedy dodać wyniki: 8 + 16 = 24.

Czasami zadania mogą być podchwytliwe. Na przykład: 2 * x³ + 5 * x³ - x³. Nie dajcie się zwieść! Wszystkie potęgi to x³, więc możemy je dodać (i odjąć!). Pamiętajcie, że przed ostatnim x³ stoi niewidoczna jedynka. Czyli mamy: 2 + 5 - 1 = 6. Wynik to 6 * x³.

Co jeśli mamy bardziej skomplikowane wyrażenie, na przykład: 4 * a²b³ + 7 * a²b³? Tutaj podstawa potęgi jest nieco bardziej złożona, bo składa się z dwóch zmiennych: a i b. Ale zasada jest ta sama! Sprawdzamy, czy obie potęgi są identyczne. W tym przypadku tak jest: a²b³ jest takie samo w obu składnikach. Więc dodajemy współczynniki: 4 + 7 = 11. Wynik to 11 * a²b³.

Podsumowując, dodawanie potęg o tych samych podstawach i wykładnikach jest bardzo proste. Musimy tylko upewnić się, że obie potęgi spełniają ten warunek i dodać liczby, które stoją przed nimi.

Kilka dodatkowych przykładów: