Dodawanie I Odejmowanie Ułamków O Różnych Mianownikach Klasa 5 Zadania

Dzień dobry wszystkim! Dzisiaj zajmiemy się dodawaniem i odejmowaniem ułamków o różnych mianownikach. Jest to kluczowa umiejętność w klasie 5 i fundament do dalszej nauki matematyki. Przejdźmy od razu do konkretów.

Zacznijmy od przypadku dodawania. Załóżmy, że mamy do dodania ułamki 1/2 i 1/3. Pierwszym krokiem jest znalezienie wspólnego mianownika. Najmniejszy wspólny mianownik (NWW) dla 2 i 3 to 6. Teraz musimy rozszerzyć oba ułamki tak, aby miały mianownik 6.

Ułamek 1/2 rozszerzamy mnożąc licznik i mianownik przez 3: (1 * 3) / (2 * 3) = 3/6.

Ułamek 1/3 rozszerzamy mnożąc licznik i mianownik przez 2: (1 * 2) / (3 * 2) = 2/6.

Teraz możemy dodać ułamki: 3/6 + 2/6 = 5/6.

Przejdźmy teraz do przykładu z odejmowaniem. Powiedzmy, że mamy odjąć od ułamka 3/4 ułamek 1/5. Znów musimy znaleźć wspólny mianownik. Najmniejszy wspólny mianownik dla 4 i 5 to 20.

Ułamek 3/4 rozszerzamy mnożąc licznik i mianownik przez 5: (3 * 5) / (4 * 5) = 15/20.

Ułamek 1/5 rozszerzamy mnożąc licznik i mianownik przez 4: (1 * 4) / (5 * 4) = 4/20.

Teraz możemy odjąć ułamki: 15/20 - 4/20 = 11/20.

Kolejny przykład: Dodajemy 2/5 + 1/4. NWW dla 5 i 4 to 20. Rozszerzamy: (24)/(54) + (15)/(45) = 8/20 + 5/20 = 13/20.

A teraz przykład z odejmowaniem: 5/6 - 1/3. NWW dla 6 i 3 to 6. Rozszerzamy: 5/6 - (12)/(32) = 5/6 - 2/6 = 3/6. Wynik możemy uprościć do 1/2.

Rozważmy teraz sytuację, gdy mamy więcej niż dwa ułamki. Załóżmy, że chcemy dodać 1/2 + 1/3 + 1/4. Musimy znaleźć najmniejszy wspólny mianownik dla 2, 3 i 4. NWW to 12.

Rozszerzamy ułamki: 1/2 = (16)/(26) = 6/12 1/3 = (14)/(34) = 4/12 1/4 = (13)/(43) = 3/12

Teraz dodajemy: 6/12 + 4/12 + 3/12 = 13/12. Jest to ułamek niewłaściwy, który możemy zapisać jako liczba mieszana: 1 i 1/12.

Inny przykład z trzema ułamkami, tym razem odejmowanie i dodawanie: 2/3 + 1/6 - 1/4. NWW dla 3, 6 i 4 to 12.

Rozszerzamy ułamki: 2/3 = (24)/(34) = 8/12 1/6 = (12)/(62) = 2/12 1/4 = (13)/(43) = 3/12

Wykonujemy działania: 8/12 + 2/12 - 3/12 = 10/12 - 3/12 = 7/12.

Kolejny przykład: 7/8 - 1/2 + 1/4. NWW dla 8, 2 i 4 to 8.

Rozszerzamy ułamki: 7/8 pozostaje bez zmian. 1/2 = (14)/(24) = 4/8 1/4 = (12)/(42) = 2/8

Wykonujemy działania: 7/8 - 4/8 + 2/8 = 3/8 + 2/8 = 5/8.

Ułamki i Liczby Mieszane

Co, jeśli mamy do czynienia z liczbami mieszanymi? Załóżmy, że chcemy dodać 1 i 1/2 + 2 i 1/3. Najpierw musimy zamienić liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.

1 i 1/2 = (1 * 2 + 1) / 2 = 3/2 2 i 1/3 = (2 * 3 + 1) / 3 = 7/3

Teraz dodajemy ułamki: 3/2 + 7/3. NWW dla 2 i 3 to 6.

Rozszerzamy ułamki: 3/2 = (33)/(23) = 9/6 7/3 = (72)/(32) = 14/6

Dodajemy: 9/6 + 14/6 = 23/6. Zamieniamy na liczbę mieszaną: 3 i 5/6.

A co z odejmowaniem liczb mieszanych? Załóżmy, że mamy 3 i 1/4 - 1 i 1/2.

Zamieniamy na ułamki niewłaściwe: 3 i 1/4 = (3 * 4 + 1) / 4 = 13/4 1 i 1/2 = (1 * 2 + 1) / 2 = 3/2

Odejmujemy: 13/4 - 3/2. NWW dla 4 i 2 to 4.

Rozszerzamy ułamki: 13/4 pozostaje bez zmian. 3/2 = (32)/(22) = 6/4

Odejmujemy: 13/4 - 6/4 = 7/4. Zamieniamy na liczbę mieszaną: 1 i 3/4.

Czasami podczas odejmowania liczb mieszanych musimy "pożyczyć" od całości. Załóżmy, że mamy 5 i 1/3 - 2 i 1/2.

Zamieniamy na ułamki niewłaściwe: 5 i 1/3 = (5 * 3 + 1) / 3 = 16/3 2 i 1/2 = (2 * 2 + 1) / 2 = 5/2

Odejmujemy: 16/3 - 5/2. NWW dla 3 i 2 to 6.

Rozszerzamy ułamki: 16/3 = (162)/(32) = 32/6 5/2 = (53)/(23) = 15/6

Odejmujemy: 32/6 - 15/6 = 17/6. Zamieniamy na liczbę mieszaną: 2 i 5/6.

Inny przykład, gdzie "pożyczanie" jest konieczne: 4 - 1 i 2/3. Najpierw zamieniamy 4 na ułamek o mianowniku 3: 4 = 12/3. Potem zamieniamy 1 i 2/3 na ułamek niewłaściwy: (1*3 + 2)/3 = 5/3. Teraz odejmujemy: 12/3 - 5/3 = 7/3. Zamieniamy na liczbę mieszaną: 2 i 1/3.

Uproszczanie Ułamków

Pamiętajmy, że po wykonaniu dodawania lub odejmowania, zawsze sprawdzamy, czy wynik można uprościć. Uproszczenie ułamka polega na podzieleniu licznika i mianownika przez ich największy wspólny dzielnik (NWD).

Na przykład, jeśli otrzymaliśmy wynik 4/6, NWD dla 4 i 6 to 2. Dzielimy licznik i mianownik przez 2: (4/2) / (6/2) = 2/3.

Inny przykład: 10/15. NWD dla 10 i 15 to 5. Dzielimy: (10/5) / (15/5) = 2/3.

Jeszcze jeden przykład: 12/18. NWD dla 12 i 18 to 6. Dzielimy: (12/6) / (18/6) = 2/3.

Uproszczenie ułamka 9/12. NWD dla 9 i 12 to 3. Dzielimy: (9/3)/(12/3) = 3/4.

Zatem, kluczem do sukcesu w dodawaniu i odejmowaniu ułamków o różnych mianownikach jest znalezienie wspólnego mianownika, rozszerzenie ułamków, wykonanie działania i ewentualne uproszczenie wyniku. Ćwiczcie te umiejętności regularnie, a staną się one dla was bardzo proste! Pamiętajcie o zamianie liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe przed wykonaniem działań i o "pożyczaniu" w przypadku odejmowania, gdy jest to konieczne. Powodzenia!