Dodawanie I Odejmowanie Ułamków O Różnych Mianownikach

Najpierw musimy uświadomić sobie, że dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach wymaga od nas trochę więcej pracy niż w przypadku ułamków o tych samych mianownikach. Sekret tkwi w sprowadzeniu wszystkich ułamków do wspólnego mianownika. Dzięki temu będziemy mogli bez problemu wykonać działania na licznikach.

Zacznijmy od przykładu: mamy dodać do siebie ułamki 1/2 i 1/3. Mianowniki są różne, więc nie możemy po prostu dodać liczników. Musimy znaleźć wspólny mianownik dla 2 i 3.

Jak to zrobić? Najprościej znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) liczb 2 i 3. Wypiszmy kilka wielokrotności każdej z tych liczb:

• Wielokrotności 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12…
• Wielokrotności 3: 3, 6, 9, 12, 15…

Widzimy, że najmniejszą wspólną wielokrotnością jest 6. Zatem 6 będzie naszym wspólnym mianownikiem.

Teraz musimy przekształcić każdy ułamek tak, aby miał mianownik równy 6. Aby to zrobić, musimy pomnożyć zarówno licznik, jak i mianownik każdego ułamka przez odpowiednią liczbę.

W przypadku ułamka 1/2, pytamy: przez co musimy pomnożyć 2, aby otrzymać 6? Odpowiedź brzmi 3. Zatem mnożymy licznik (1) i mianownik (2) przez 3:

(1 * 3) / (2 * 3) = 3/6

Przekształciliśmy ułamek 1/2 w ułamek 3/6.

Teraz zajmijmy się ułamkiem 1/3. Pytamy: przez co musimy pomnożyć 3, aby otrzymać 6? Odpowiedź brzmi 2. Zatem mnożymy licznik (1) i mianownik (3) przez 2:

(1 * 2) / (3 * 2) = 2/6

Przekształciliśmy ułamek 1/3 w ułamek 2/6.

Teraz, gdy oba ułamki mają ten sam mianownik (6), możemy je dodać:

3/6 + 2/6 = (3 + 2) / 6 = 5/6

Wynik dodawania ułamków 1/2 i 1/3 to 5/6.

Kolejny przykład, tym razem z odejmowaniem: 5/8 - 1/4.

Mianowniki to 8 i 4. Szukamy najmniejszej wspólnej wielokrotności:

• Wielokrotności 8: 8, 16, 24…
• Wielokrotności 4: 4, 8, 12, 16…

NWW to 8. Zauważ, że pierwszy ułamek, 5/8, już ma mianownik 8, więc nie musimy go zmieniać.

Musimy przekształcić ułamek 1/4, aby miał mianownik 8. Przez co musimy pomnożyć 4, aby otrzymać 8? Przez 2.

(1 * 2) / (4 * 2) = 2/8

Teraz możemy odjąć ułamki:

5/8 - 2/8 = (5 - 2) / 8 = 3/8

Wynik odejmowania ułamków 5/8 i 1/4 to 3/8.

Bardziej Złożone Przykłady

Spójrzmy na trudniejszy przykład: 2/3 + 1/4 - 1/6.

Mamy trzy ułamki i trzy różne mianowniki: 3, 4 i 6. Musimy znaleźć NWW tych trzech liczb.

• Wielokrotności 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18…
• Wielokrotności 4: 4, 8, 12, 16, 20…
• Wielokrotności 6: 6, 12, 18, 24…

Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 3, 4 i 6 jest 12. Zatem 12 będzie naszym wspólnym mianownikiem.

Przekształcamy każdy ułamek:

• 2/3: Przez co pomnożyć 3, aby otrzymać 12? Przez 4. Zatem (2 * 4) / (3 * 4) = 8/12
• 1/4: Przez co pomnożyć 4, aby otrzymać 12? Przez 3. Zatem (1 * 3) / (4 * 3) = 3/12
• 1/6: Przez co pomnożyć 6, aby otrzymać 12? Przez 2. Zatem (1 * 2) / (6 * 2) = 2/12

Teraz możemy wykonać działania:

8/12 + 3/12 - 2/12 = (8 + 3 - 2) / 12 = 9/12

Ułamek 9/12 można jeszcze skrócić. Zarówno 9, jak i 12 dzielą się przez 3.

9/12 = (9 / 3) / (12 / 3) = 3/4

Wynik działania 2/3 + 1/4 - 1/6 to 3/4.

Inny przykład, tym razem z liczbami mieszanymi: 1 1/2 + 2 1/3.

Najpierw musimy zamienić liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.

1 1/2 = (1 * 2 + 1) / 2 = 3/2 2 1/3 = (2 * 3 + 1) / 3 = 7/3

Teraz mamy ułamki 3/2 i 7/3. Znajdujemy wspólny mianownik. NWW liczb 2 i 3 to 6.

Przekształcamy ułamki:

• 3/2: Przez co pomnożyć 2, aby otrzymać 6? Przez 3. Zatem (3 * 3) / (2 * 3) = 9/6
• 7/3: Przez co pomnożyć 3, aby otrzymać 6? Przez 2. Zatem (7 * 2) / (3 * 2) = 14/6

Dodajemy ułamki:

9/6 + 14/6 = (9 + 14) / 6 = 23/6

Teraz możemy zamienić ułamek niewłaściwy 23/6 na liczbę mieszaną. Ile razy 6 mieści się w 23? 3 razy, z resztą 5. Zatem 23/6 = 3 5/6.

Wynik działania 1 1/2 + 2 1/3 to 3 5/6.

Rozważmy jeszcze jeden przykład z odejmowaniem i liczbami mieszanymi: 4 1/5 - 2 3/4.

Zamieniamy liczby mieszane na ułamki niewłaściwe:

4 1/5 = (4 * 5 + 1) / 5 = 21/5 2 3/4 = (2 * 4 + 3) / 4 = 11/4

Szukamy wspólnego mianownika dla 5 i 4. NWW to 20.

Przekształcamy ułamki:

• 21/5: Przez co pomnożyć 5, aby otrzymać 20? Przez 4. Zatem (21 * 4) / (5 * 4) = 84/20
• 11/4: Przez co pomnożyć 4, aby otrzymać 20? Przez 5. Zatem (11 * 5) / (4 * 5) = 55/20

Odejmujemy ułamki:

84/20 - 55/20 = (84 - 55) / 20 = 29/20

Zamieniamy ułamek niewłaściwy 29/20 na liczbę mieszaną. Ile razy 20 mieści się w 29? 1 raz, z resztą 9. Zatem 29/20 = 1 9/20.

Wynik działania 4 1/5 - 2 3/4 to 1 9/20.

Pamiętaj, że kluczem do sukcesu w dodawaniu i odejmowaniu ułamków o różnych mianownikach jest znalezienie wspólnego mianownika i odpowiednie przekształcenie ułamków. Po tym kroku, działania stają się proste!

Upraszczanie Ułamków po Dodawaniu/Odejmowaniu

Po wykonaniu dodawania lub odejmowania, ułamek wynikowy często można uprościć. Upraszczanie ułamka oznacza podzielenie licznika i mianownika przez ich największy wspólny dzielnik (NWD).

Spójrzmy na przykład. Po dodaniu ułamków otrzymaliśmy wynik 6/8. Zarówno 6, jak i 8 dzielą się przez 2. Zatem możemy podzielić licznik i mianownik przez 2:

(6 / 2) / (8 / 2) = 3/4

Uprościliśmy ułamek 6/8 do 3/4.

Inny przykład: 15/25. Zarówno 15, jak i 25 dzielą się przez 5.

(15 / 5) / (25 / 5) = 3/5

Uprościliśmy ułamek 15/25 do 3/5.

Znajdowanie Najmniejszej Wspólnej Wielokrotności (NWW)

Znalezienie NWW jest kluczowe. Istnieją różne metody na znalezienie NWW. Już widzieliśmy metodę wypisywania wielokrotności. Inną metodą jest rozkład liczb na czynniki pierwsze.

Rozważmy liczby 12 i 18.

Rozkład na czynniki pierwsze:

• 12 = 2 * 2 * 3 = 2^2 * 3
• 18 = 2 * 3 * 3 = 2 * 3^2

Aby znaleźć NWW, bierzemy najwyższą potęgę każdego czynnika pierwszego występującego w rozkładach:

• 2^2 (bo 2^2 występuje w rozkładzie 12)
• 3^2 (bo 3^2 występuje w rozkładzie 18)

NWW(12, 18) = 2^2 * 3^2 = 4 * 9 = 36

Zatem najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 12 i 18 jest 36. Możemy teraz użyć tej wiedzy do dodawania lub odejmowania ułamków o mianownikach 12 i 18.

Utrwalanie wiedzy przez ćwiczenia jest bardzo ważne. Spróbuj rozwiązać różne zadania, aby nabrać wprawy. Pamiętaj o upraszczaniu wyników! Powodzenia!