Dla Jakich Wartości Parametru M Równanie Ma Dwa Rozwiązania

Hej wszystkim! Dzisiaj zajmiemy się problemem, kiedy równanie z parametrem "m" ma dwa rozwiązania. To bardzo częste zadanie na maturze, więc warto to dobrze zrozumieć!

Zacznijmy od ogólnego przypadku. Najczęściej mamy do czynienia z równaniem kwadratowym, które wygląda mniej więcej tak:

ax² + bx + c = 0

Gdzie "a", "b" i "c" to współczynniki, a przynajmniej jeden z nich zawiera parametr "m". Kluczem do znalezienia ilości rozwiązań jest delta (Δ).

Δ = b² - 4ac

Teraz, w zależności od delty, mamy trzy sytuacje:

• Δ > 0: Równanie ma dwa różne rozwiązania.
• Δ = 0: Równanie ma jedno rozwiązanie (nazywane też podwójnym).
• Δ < 0: Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Żeby równanie miało DWA ROZWIĄZANIA, musimy znaleźć takie wartości "m", dla których Δ > 0.

Przykład 1: Proste równanie kwadratowe

Załóżmy, że mamy równanie:

x² + (m + 1)x + m = 0

Czyli: a = 1 b = m + 1 c = m

Obliczamy deltę:

Δ = (m + 1)² - 4 * 1 * m Δ = m² + 2m + 1 - 4m Δ = m² - 2m + 1 Δ = (m - 1)²

Teraz chcemy, żeby Δ > 0:

(m - 1)² > 0

Kwadrat jakiejkolwiek liczby jest zawsze większy lub równy zero. Zatem (m - 1)² jest zawsze większe lub równe zero. Musimy tylko wykluczyć przypadek, kiedy (m - 1)² = 0, bo wtedy mielibyśmy jedno rozwiązanie (Δ = 0).

(m - 1)² = 0 m - 1 = 0 m = 1

Czyli równanie ma dwa rozwiązania dla wszystkich wartości "m" z wyjątkiem m = 1. Możemy to zapisać:

m ∈ (-∞, 1) ∪ (1, +∞)

Przykład 2: Trochę trudniej

Weźmy teraz równanie:

(m - 2)x² + 4x + m - 2 = 0

Widzimy, że "a" zależy od "m". To oznacza, że musimy uważać na jedną bardzo ważną rzecz: jeżeli (m - 2) = 0, to równanie przestaje być kwadratowe i staje się liniowe! Równanie liniowe ma ZAWSZE jedno rozwiązanie (chyba że współczynnik przy x też jest zerem, ale to inna historia).

Zatem, na samym początku musimy sprawdzić, co się dzieje, gdy m = 2:

Jeżeli m = 2, to równanie wygląda tak:

0x² + 4x + 0 = 0 4x = 0 x = 0

Czyli dla m = 2 mamy JEDNO rozwiązanie. Zatem m = 2 musimy wykluczyć z naszych rozważań.

Teraz możemy założyć, że m ≠ 2 i liczymy deltę:

a = m - 2 b = 4 c = m - 2

Δ = 4² - 4 * (m - 2) * (m - 2) Δ = 16 - 4 * (m² - 4m + 4) Δ = 16 - 4m² + 16m - 16 Δ = -4m² + 16m Δ = -4m(m - 4)

Chcemy, żeby Δ > 0:

-4m(m - 4) > 0

Żeby rozwiązać tą nierówność, możemy pomnożyć obie strony przez -1 (pamiętając o zmianie znaku nierówności!):

4m(m - 4) < 0

m(m - 4) < 0

Teraz szukamy miejsc zerowych:

m = 0 lub m - 4 = 0 => m = 4

Mamy dwa miejsca zerowe: m = 0 i m = 4. Narysujmy sobie schematycznie parabolę (bo mamy funkcję kwadratową m(m-4)). Parabola ma ramiona skierowane do góry (bo współczynnik przy m² jest dodatni) i przecina oś OX w punktach 0 i 4. Chcemy znaleźć, gdzie parabola jest poniżej osi OX (bo chcemy, żeby m(m - 4) < 0).

Widzimy, że parabola jest poniżej osi OX między 0 a 4. Zatem:

0 < m < 4

m ∈ (0, 4)

Pamiętamy jednak, że na samym początku założyliśmy, że m ≠ 2. Sprawdzamy, czy m = 2 mieści się w naszym przedziale (0, 4). Tak, mieści się. Zatem musimy wykluczyć m = 2 z tego przedziału.

Ostateczna odpowiedź:

m ∈ (0, 2) ∪ (2, 4)

Równania Inne niż Kwadratowe

A co jeśli równanie nie jest kwadratowe? Czasami możemy sprowadzić je do równania kwadratowego poprzez podstawienie.

Przykład 3: Równanie bikwadratowe

Rozważmy równanie:

x⁴ - (m + 3)x² + m = 0

Wygląda groźnie, ale możemy zrobić podstawienie:

t = x²

Wtedy równanie zmienia się w:

t² - (m + 3)t + m = 0

Teraz mamy zwykłe równanie kwadratowe z niewiadomą "t". Możemy obliczyć deltę dla tego równania:

a = 1 b = -(m + 3) c = m

Δ = (-(m + 3))² - 4 * 1 * m Δ = (m + 3)² - 4m Δ = m² + 6m + 9 - 4m Δ = m² + 2m + 9

Chcemy, żeby równanie miało DWA rozwiązania dla "x". Ale pamiętajmy, że t = x². Zatem:

• Jeśli t > 0, to x = ±√t (dwa rozwiązania dla x)
• Jeśli t = 0, to x = 0 (jedno rozwiązanie dla x)
• Jeśli t < 0, to brak rozwiązań dla x (bo nie możemy spierwiastkować liczby ujemnej)

Żeby równanie x⁴ - (m + 3)x² + m = 0 miało DWA rozwiązania, to równanie t² - (m + 3)t + m = 0 musi mieć jedno rozwiązanie dodatnie (t > 0) lub mieć dwa rozwiązania, z których jedno jest równe zero.

Spróbujmy najpierw z warunkiem, że Δ = 0 (jedno rozwiązanie dla "t"):

Δ = m² + 2m + 9 = 0

Obliczmy deltę dla tej delty:

Δ' = 2² - 4 * 1 * 9 = 4 - 36 = -32

Δ' < 0, więc równanie m² + 2m + 9 = 0 NIE ma rozwiązań rzeczywistych. Czyli nie możemy znaleźć takiej wartości "m", żeby Δ = 0.

Teraz spróbujmy z warunkiem, że równanie t² - (m + 3)t + m = 0 ma dwa rozwiązania, z których jedno jest równe zero. To oznacza, że c = 0 (bo wtedy t₁ * t₂ = c/a = 0/a = 0).

Zatem:

m = 0

Jeśli m = 0, to równanie na "t" wygląda tak:

t² - 3t = 0 t(t - 3) = 0

t = 0 lub t = 3

Czyli mamy dwa rozwiązania dla "t": t = 0 i t = 3. Wtedy:

• Jeśli t = 0, to x² = 0, czyli x = 0 (jedno rozwiązanie)
• Jeśli t = 3, to x² = 3, czyli x = ±√3 (dwa rozwiązania)

W sumie mamy TRZY rozwiązania dla "x": x = 0, x = √3 i x = -√3. To nie spełnia naszego warunku (chcemy tylko DWA rozwiązania).

Zatem niestety, w tym przypadku nie ma takich wartości parametru "m", dla których równanie x⁴ - (m + 3)x² + m = 0 ma dokładnie dwa rozwiązania. (Możemy mieć 0 rozwiązań, 3 rozwiązania lub 4 rozwiązania w zależności od wartości "m").

Podsumowanie

Pamiętaj, że rozwiązywanie zadań z parametrem wymaga:

1. Obliczenia delty.
2. Ustalenia, kiedy delta jest większa od zera.
3. Sprawdzenia, czy nie ma przypadków szczególnych (np. współczynnik przy x² równy zero, równanie bikwadratowe, itp.).
4. Uważnego przeczytania treści zadania i zrozumienia, co dokładnie chcemy znaleźć.

Ćwicz, ćwicz i jeszcze raz ćwicz! Powodzenia na maturze!