Dla Jakich Wartości Parametru M Równanie Ma Dwa Różne Pierwiastki

Równanie kwadratowe odgrywa fundamentalną rolę w matematyce, pojawiając się w wielu różnych kontekstach, od geometrii po fizykę. Zrozumienie, kiedy równanie kwadratowe posiada dwa różne pierwiastki, jest kluczowe dla rozwiązywania wielu problemów. W tym artykule skupimy się na tym, jak analizować równania kwadratowe z parametrem i określać, dla jakich wartości tego parametru równanie posiada dokładnie dwa różne rozwiązania.

Rozważmy ogólną postać równania kwadratowego: ax² + bx + c = 0, gdzie a, b, i c są współczynnikami, a x jest niewiadomą. Liczba i rodzaj rozwiązań tego równania zależy bezpośrednio od wartości wyróżnika, oznaczonego zazwyczaj jako Δ (delta).

Wyróżnik i Jego Znaczenie

Wyróżnik, Δ, obliczamy za pomocą wzoru: Δ = b² - 4ac. Wartość wyróżnika determinuje naturę pierwiastków równania kwadratowego.

• Jeśli Δ > 0, równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
• Jeśli Δ = 0, równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny pierwiastek).
• Jeśli Δ < 0, równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych (ma dwa pierwiastki zespolone).

Chcąc znaleźć wartości parametru m, dla których równanie ma dwa różne pierwiastki, musimy zapewnić, aby Δ > 0. Przejdźmy teraz do przykładów, które zilustrują ten proces.

Przykłady Rozwiązywania Równań z Parametrem

Załóżmy, że mamy równanie kwadratowe z parametrem m: (m-1)x² + 2mx + m + 1 = 0. Chcemy znaleźć te wartości m, dla których to równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

1. Wyznaczenie współczynników: W tym przypadku a = m - 1, b = 2m, i c = m + 1.

2. Obliczenie wyróżnika: Δ = (2m)² - 4(m - 1)(m + 1) = 4m² - 4(m² - 1) = 4m² - 4m² + 4 = 4.

3. Analiza warunku Δ > 0: W tym konkretnym przypadku Δ = 4, co jest zawsze większe od zera. Oznacza to, że niezależnie od wartości m, równanie zawsze będzie miało dwa różne pierwiastki. Musimy jednak pamiętać, że warunkiem koniecznym, aby równanie było kwadratowe, jest a ≠ 0. Zatem m - 1 ≠ 0, czyli m ≠ 1.

   Ostatecznie, równanie (m-1)x² + 2mx + m + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki dla wszystkich m ∈ ℝ, z wyjątkiem m = 1.

Rozważmy inny przykład: x² + (m-2)x + 1 = 0.

1. Wyznaczenie współczynników: a = 1, b = m - 2, c = 1.

2. Obliczenie wyróżnika: Δ = (m - 2)² - 4 * 1 * 1 = m² - 4m + 4 - 4 = m² - 4m.

3. Analiza warunku Δ > 0: Musimy znaleźć wartości m, dla których m² - 4m > 0. Możemy to zrobić, znajdując pierwiastki wyrażenia m² - 4m = 0.

   m(m - 4) = 0. Zatem m = 0 lub m = 4.

   Teraz analizujemy znak wyrażenia m² - 4m w przedziałach: (-∞, 0), (0, 4), i (4, ∞).

   • Dla m < 0, np. m = -1, mamy (-1)² - 4(-1) = 1 + 4 = 5 > 0.
   • Dla 0 < m < 4, np. m = 2, mamy (2)² - 4(2) = 4 - 8 = -4 < 0.
   • Dla m > 4, np. m = 5, mamy (5)² - 4(5) = 25 - 20 = 5 > 0.

   Zatem m² - 4m > 0 dla m ∈ (-∞, 0) ∪ (4, ∞).

Dla jakich wartości parametru m równanie x² + (m-2)x + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki? Odpowiedź: m ∈ (-∞, 0) ∪ (4, ∞).

Rozważmy jeszcze jeden, nieco bardziej skomplikowany przykład: (m+2)x² - mx + m-1 = 0.

1. Wyznaczenie współczynników: a = m + 2, b = -m, c = m - 1.

2. Obliczenie wyróżnika: Δ = (-m)² - 4(m + 2)(m - 1) = m² - 4(m² + m - 2) = m² - 4m² - 4m + 8 = -3m² - 4m + 8.

3. Analiza warunku Δ > 0: Musimy znaleźć wartości m, dla których -3m² - 4m + 8 > 0. Najpierw znajdźmy pierwiastki równania -3m² - 4m + 8 = 0.

   Używamy wzoru na pierwiastki równania kwadratowego: m = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).

   W tym przypadku: m = (4 ± √((-4)² - 4(-3)(8))) / (2(-3)) = (4 ± √(16 + 96)) / (-6) = (4 ± √112) / (-6) = (4 ± 4√7) / (-6) = (-2 ± 2√7) / 3.

   Zatem pierwiastki to m₁ = (-2 - 2√7) / 3 oraz m₂ = (-2 + 2√7) / 3.

   Ponieważ współczynnik przy m² jest ujemny (-3), parabola skierowana jest w dół. Oznacza to, że funkcja -3m² - 4m + 8 jest większa od zera pomiędzy swoimi pierwiastkami.

   Zatem -3m² - 4m + 8 > 0 dla m ∈ ((-2 - 2√7) / 3, (-2 + 2√7) / 3).

   Dodatkowo, musimy pamiętać o warunku a ≠ 0, czyli m + 2 ≠ 0, zatem m ≠ -2. Sprawdzamy, czy m = -2 należy do wyznaczonego przedziału. Przybliżona wartość (-2 - 2√7) / 3 to około -2.43, a (-2 + 2√7) / 3 to około 1.09. Zatem m = -2 należy do przedziału ((-2 - 2√7) / 3, (-2 + 2√7) / 3).

   Ostatecznie, równanie (m+2)x² - mx + m-1 = 0 ma dwa różne pierwiastki dla m ∈ ((-2 - 2√7) / 3, -2) ∪ (-2, (-2 + 2√7) / 3).

Podsumowanie Metodologii

Aby znaleźć wartości parametru m, dla których równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, należy:

1. Zidentyfikować współczynniki a, b, i c w równaniu kwadratowym z parametrem.
2. Obliczyć wyróżnik Δ, używając wzoru Δ = b² - 4ac.
3. Znaleźć wartości m, dla których Δ > 0. Wymaga to często rozwiązania nierówności.
4. Sprawdzić, czy współczynnik a jest różny od zera, aby zapewnić, że mamy do czynienia z równaniem kwadratowym. Jeśli a zależy od m, należy wykluczyć te wartości m, dla których a = 0.
5. Zapisać ostateczny zbiór wartości m, które spełniają oba warunki: Δ > 0 i a ≠ 0.

Pamiętanie o tych krokach i regularne ćwiczenia pomogą w sprawnym rozwiązywaniu tego typu zadań. Kluczowe jest zrozumienie, że wyróżnik (delta) jest podstawowym narzędziem do analizy liczby i rodzaju pierwiastków równania kwadratowego.