Dla Jakich Wartości Parametru M Dziedziną Jest Zbiór Liczb Rzeczywistych

Dobrze, proszę bardzo artykuł na temat, dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych:

Zacznijmy od tego, że aby funkcja była określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, musimy unikać sytuacji, w których pojawiają się wyrażenia niedozwolone, takie jak: dzielenie przez zero, pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej, logarytm z liczby niedodatniej, arcus sinus lub arcus cosinus z liczby spoza przedziału [-1, 1], tangens i cotangens dla odpowiednio wielokrotności π/2 i wielokrotności π, arccotangens i arctangens są określone dla wszystkich liczb rzeczywistych. Skupimy się głównie na przypadkach, gdy problemem jest mianownik lub pierwiastek. Rozpatrzymy kilka typowych przykładów.

Funkcje wymierne:

Załóżmy, że mamy funkcję wymierną postaci f(x) = P(x) / Q(x), gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami. Dziedzina takiej funkcji to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x, dla których Q(x) ≠ 0. Aby dziedziną był cały zbiór liczb rzeczywistych, mianownik Q(x) musi być różny od zera dla każdego x. Oznacza to, że Q(x) nie może mieć pierwiastków rzeczywistych.

1. Q(x) = ax + b: Warunek Q(x) ≠ 0 dla każdego x jest spełniony tylko wtedy, gdy a = 0 i b ≠ 0. W przeciwnym razie, x = -b/a jest miejscem zerowym mianownika. Zatem, jeśli Q(x) = mx + 2, to aby dziedziną był zbiór liczb rzeczywistych, musi być m = 0 i 2 ≠ 0, co jest prawdą. Zatem m=0.

2. Q(x) = ax² + bx + c: Aby Q(x) nie miało pierwiastków rzeczywistych, jego wyróżnik (delta, Δ) musi być ujemny. Δ = b² - 4ac < 0. Jeśli a > 0, to parabola reprezentująca Q(x) jest skierowana w górę i nie przecina osi x, jeśli Δ < 0. Jeśli a < 0, parabola jest skierowana w dół, a brak pierwiastków rzeczywistych (Δ < 0) oznacza, że cała parabola leży poniżej osi x, co implikuje, że Q(x) < 0 dla każdego x, co również uniemożliwia zerowanie się Q(x). Jeżeli a = 0 wracamy do przypadku liniowego.

   • Przykład: Q(x) = x² + mx + 1. Warunek Δ < 0 daje m² - 4 < 0, czyli m ∈ (-2, 2).
   • Przykład: Q(x) = mx² + 4x + m. Rozważmy dwa przypadki.
     • m = 0: Wtedy Q(x) = 4x, co ma pierwiastek x = 0, więc m = 0 nie spełnia warunków.
     • m ≠ 0: Wtedy Δ = 16 - 4m² < 0, czyli m² > 4, co daje m ∈ (-∞, -2) ∪ (2, ∞). Dodatkowo, aby Q(x) było zawsze dodatnie lub zawsze ujemne, musi być m > 0 (aby parabola była skierowana w górę), co daje ostatecznie m ∈ (2, ∞).

Funkcje z pierwiastkami:

Rozważmy funkcję f(x) = √R(x), gdzie R(x) jest wyrażeniem zależnym od x. Dziedzina takiej funkcji to zbiór wszystkich x, dla których R(x) ≥ 0. Aby dziedziną był zbiór liczb rzeczywistych, musi być R(x) ≥ 0 dla każdego x.

1. R(x) = ax + b: Warunek ax + b ≥ 0 dla każdego x jest spełniony tylko wtedy, gdy a = 0 i b ≥ 0.

   • Przykład: R(x) = mx + 3. Musi być m = 0 i 3 ≥ 0, co jest prawdą. Zatem m = 0.

2. R(x) = ax² + bx + c: Aby R(x) ≥ 0 dla każdego x, parabola reprezentująca R(x) musi leżeć powyżej osi x lub na niej. Oznacza to, że a > 0 i Δ ≤ 0, lub a = 0 i bx + c ≥ 0 dla wszystkich x.

   • Przykład: R(x) = x² + mx + 4. Musi być Δ ≤ 0, czyli m² - 16 ≤ 0, co daje m ∈ [-4, 4].
   • Przykład: R(x) = -x² + mx - 1. Musi być a > 0, ale tutaj a = -1 < 0, więc nie ma takich wartości m, dla których R(x) ≥ 0 dla każdego x. Zatem, dziedzina nigdy nie będzie zbiorem liczb rzeczywistych.
   • Przykład: R(x) = mx² + 6x + m.
     • m = 0: Wtedy R(x) = 6x, co nie jest zawsze nieujemne, więc m = 0 nie spełnia warunków.
     • m > 0: Wtedy Δ = 36 - 4m² ≤ 0, czyli m² ≥ 9, co daje m ∈ (-∞, -3] ∪ [3, ∞). Ponieważ m > 0, to m ∈ [3, ∞).
     • m < 0: Wtedy parabola jest skierowana w dół, więc nigdy R(x) nie będzie nieujemne dla wszystkich x.

Bardziej złożone przykłady:

Możemy mieć funkcje, w których zarówno mianownik, jak i wyrażenie pod pierwiastkiem zależą od parametru m. Wtedy musimy rozważyć warunki dla obu tych wyrażeń jednocześnie.

Przykład: f(x) = √(mx + 2) / (x² + mx + 1).

Aby funkcja była określona dla wszystkich x, musimy spełnić dwa warunki:

1. mx + 2 ≥ 0 dla wszystkich x. Zatem m = 0 i 2 ≥ 0 (spełnione).
2. x² + mx + 1 ≠ 0 dla wszystkich x. Zatem Δ < 0, czyli m² - 4 < 0, co daje m ∈ (-2, 2).

Łącząc te warunki, otrzymujemy m = 0.

Inny przykład: f(x) = 1 / √(mx² + 4x + m)

Aby funkcja była określona dla wszystkich x, wyrażenie pod pierwiastkiem musi być dodatnie (nie tylko nieujemne, ponieważ znajduje się w mianowniku): mx² + 4x + m > 0 dla wszystkich x.

• m = 0: wtedy 4x > 0, co nie jest prawdą dla wszystkich x, więc m = 0 odpada.
• m > 0: Wtedy parabola musi być skierowana w górę i nie mieć pierwiastków rzeczywistych, więc Δ < 0. Δ = 16 - 4m² < 0, czyli m² > 4, a więc m ∈ (-∞, -2) ∪ (2, ∞). Ponieważ m > 0, to m ∈ (2, ∞).
• m < 0: wtedy parabola jest skierowana w dół, więc nigdy mx² + 4x + m nie będzie dodatnie dla wszystkich x.

Zatem, dziedzina funkcji f(x) jest zbiorem liczb rzeczywistych dla m ∈ (2, ∞).

Podsumowanie

Określanie dziedziny funkcji zależnej od parametru m wymaga dokładnej analizy wyrażeń, które mogą powodować problemy (dzielenie przez zero, pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych, itp.). Należy rozważyć różne przypadki, w zależności od wartości m, i upewnić się, że warunki dotyczące dziedziny są spełnione dla wszystkich liczb rzeczywistych. Kluczowe jest zrozumienie, jak zmiana parametru m wpływa na zachowanie funkcji.

Pamiętajmy o analizie znaku wyrażeń kwadratowych, w czym pomaga znajomość delty i współczynnika przy x². Zawsze sprawdzajmy, czy dla konkretnych wartości m (np. m = 0) funkcja zachowuje się zgodnie z założeniami.

Mam nadzieję, że to wyczerpujące wyjaśnienie pomoże w zrozumieniu tego zagadnienia.