Dla Jakich Wartości Parametru K Suma Kwadratów Pierwiastków Równania

Kochani Uczniowie,

Przyjrzyjmy się dogłębnie problemowi, dla jakich wartości parametru k suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego przyjmuje określone wartości. Obejrzymy to zagadnienie z różnych perspektyw, aby zapewnić pełne zrozumienie i możliwość rozwiązywania różnorodnych zadań tego typu.

Zacznijmy od równania kwadratowego w postaci ogólnej:

ax² + bx + c = 0,

gdzie a ≠ 0. Niech x₁ i x₂ oznaczają pierwiastki tego równania (rzeczywiste lub zespolone). Naszym celem jest znalezienie warunków na parametr k, aby suma kwadratów tych pierwiastków, czyli x₁² + x₂², miała zadaną wartość.

Wykorzystamy wzory Viète'a, które wiążą współczynniki równania kwadratowego z sumą i iloczynem jego pierwiastków:

• x₁ + x₂ = -b/a
• x₁ * x₂ = c/a

Następnie wyrażamy sumę kwadratów pierwiastków za pomocą tych wzorów:

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂

Podstawiając wzory Viète'a, otrzymujemy:

x₁² + x₂² = (-b/a)² - 2(c/a) = b²/a² - 2c/a = (b² - 2ac) / a²

Teraz, jeśli mamy równanie z parametrem k, np. x² + kx + k - 1 = 0, gdzie a = 1, b = k, c = k - 1, to możemy wyrazić sumę kwadratów pierwiastków w zależności od k:

x₁² + x₂² = (k² - 2(1)(k - 1)) / 1² = k² - 2k + 2

Załóżmy, że chcemy, aby suma kwadratów pierwiastków była równa pewnej wartości, np. 6. Wtedy mamy równanie:

k² - 2k + 2 = 6

k² - 2k - 4 = 0

Rozwiązujemy to równanie kwadratowe ze względu na k:

Δ = (-2)² - 4(1)(-4) = 4 + 16 = 20

k₁ = (2 - √20) / 2 = (2 - 2√5) / 2 = 1 - √5

k₂ = (2 + √20) / 2 = (2 + 2√5) / 2 = 1 + √5

Zatem, dla wartości k = 1 - √5 oraz k = 1 + √5, suma kwadratów pierwiastków równania x² + kx + k - 1 = 0 wynosi 6.

Pamiętajmy jednak o warunku istnienia pierwiastków rzeczywistych. Musimy sprawdzić, czy dla znalezionych wartości k, wyróżnik Δ równania kwadratowego jest nieujemny. Dla równania ax² + bx + c = 0 mamy Δ = b² - 4ac.

W naszym przykładzie:

Δ = k² - 4(k - 1) = k² - 4k + 4 = (k - 2)²

Wyróżnik jest zawsze nieujemny, ponieważ jest kwadratem, więc dla każdego k istnieją pierwiastki rzeczywiste (mogą być równe). Oznacza to, że oba znalezione rozwiązania dla k są poprawne.

Szczegółowa Analiza Przypadków

Przejdźmy teraz do bardziej skomplikowanego przykładu. Rozważmy równanie:

(k - 2)x² + (k + 1)x + k = 0

Zauważmy, że współczynnik przy x² zależy od k. Musimy rozważyć dwa główne przypadki:

1. k = 2: Wtedy równanie redukuje się do liniowego: 3x + 2 = 0, co daje jedno rozwiązanie x = -2/3. W tym przypadku suma kwadratów pierwiastków (który jest tylko jeden) wynosi (-2/3)² = 4/9. Wartość ta nie zależy od dodatkowych założeń.

2. k ≠ 2: Wtedy mamy równanie kwadratowe. Obliczamy sumę kwadratów pierwiastków, używając wzorów Viète'a:

• x₁ + x₂ = -(k + 1) / (k - 2)
• x₁x₂ = k / (k - 2)

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (-(k + 1) / (k - 2))² - 2(k / (k - 2))

x₁² + x₂² = (k² + 2k + 1) / (k - 2)² - (2k(k - 2)) / (k - 2)²

x₁² + x₂² = (k² + 2k + 1 - 2k² + 4k) / (k - 2)² = (-k² + 6k + 1) / (k - 2)²

Teraz, załóżmy, że chcemy, aby suma kwadratów pierwiastków wynosiła np. 1. Otrzymujemy równanie:

(-k² + 6k + 1) / (k - 2)² = 1

-k² + 6k + 1 = (k - 2)²

-k² + 6k + 1 = k² - 4k + 4

2k² - 10k + 3 = 0

Rozwiązujemy to równanie kwadratowe ze względu na k:

Δ = (-10)² - 4(2)(3) = 100 - 24 = 76

k₁ = (10 - √76) / 4 = (10 - 2√19) / 4 = (5 - √19) / 2

k₂ = (10 + √76) / 4 = (10 + 2√19) / 4 = (5 + √19) / 2

Teraz musimy sprawdzić, czy dla tych wartości k istnieją pierwiastki rzeczywiste naszego oryginalnego równania kwadratowego (k - 2)x² + (k + 1)x + k = 0. W tym celu obliczamy wyróżnik Δ:

Δ = (k + 1)² - 4(k - 2)(k) = k² + 2k + 1 - 4k² + 8k = -3k² + 10k + 1

Musimy sprawdzić, czy -3k² + 10k + 1 ≥ 0 dla k₁ = (5 - √19) / 2 oraz k₂ = (5 + √19) / 2. Zamiast wstawiać konkretne wartości, znajdźmy przedział, dla którego -3k² + 10k + 1 ≥ 0. Miejsca zerowe tego wyrażenia kwadratowego to:

k = (-10 ± √(100 + 12)) / -6 = (10 ± √112) / 6 = (5 ± √28) / 3 = (5 ± 2√7) / 3

Czyli k ∈ [(5 - 2√7) / 3, (5 + 2√7) / 3]. Teraz musimy sprawdzić, czy nasze wyliczone k₁ i k₂ leżą w tym przedziale.

(5 - √19) / 2 ≈ (5 - 4.36) / 2 ≈ 0.32

(5 + √19) / 2 ≈ (5 + 4.36) / 2 ≈ 4.68

(5 - 2√7) / 3 ≈ (5 - 5.29) / 3 ≈ -0.10

(5 + 2√7) / 3 ≈ (5 + 5.29) / 3 ≈ 3.43

Widzimy, że k₁ leży poza przedziałem [(5 - 2√7) / 3, (5 + 2√7) / 3], natomiast k₂ również leży poza tym przedziałem. Dodatkowo, musimy pamiętać, że k ≠ 2. Sprawdzamy, czy któraś z naszych wartości k jest równa 2. Żadna z nich nie jest równa 2.

Zatem, po dokładnej analizie, doszliśmy do wniosku, że dla zadanej wartości sumy kwadratów pierwiastków równej 1, nie ma rozwiązań dla k, które spełniają zarówno warunek istnienia pierwiastków rzeczywistych, jak i warunek, że k ≠ 2.

Podsumowanie i Wnioski

Widzimy, że problem znajdowania wartości parametru k, dla których suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego ma zadaną wartość, wymaga ostrożnego podejścia i uwzględnienia wielu czynników. Należy:

1. Wyrazić sumę kwadratów pierwiastków za pomocą wzorów Viète'a i parametru k.
2. Rozwiązać równanie wynikające z warunku na sumę kwadratów pierwiastków.
3. Sprawdzić, czy dla znalezionych wartości k istnieją pierwiastki rzeczywiste (warunek Δ ≥ 0).
4. Uwzględnić przypadki szczególne, np. gdy współczynnik przy x² zależy od k i może się zerować.

H2: Metody Alternatywne

Chociaż wykorzystanie wzorów Viète'a jest najczęściej stosowaną metodą, istnieją alternatywne podejścia. Jednym z nich jest bezpośrednie rozwiązywanie równania kwadratowego ze względu na x (np. za pomocą wzoru na pierwiastki) i następnie obliczenie sumy kwadratów uzyskanych pierwiastków. Jednak ta metoda jest zazwyczaj bardziej skomplikowana obliczeniowo.

H2: Uwzględnianie Zespolonych Pierwiastków

Jeżeli w zadaniu nie jest powiedziane, że pierwiastki mają być rzeczywiste, należy uwzględnić pierwiastki zespolone. Wtedy warunek Δ ≥ 0 nie jest wymagany, a analiza sprowadza się jedynie do wyznaczenia k z równania na sumę kwadratów pierwiastków, wykorzystując wzory Viète'a.

Mam nadzieję, że to obszerne wyjaśnienie rzuca światło na ten problem i pomoże Wam w rozwiązywaniu podobnych zadań. Powodzenia!