Dla Jakich Wartości Parametru K Rozwiązanie Układu Równań

Rozważmy układ równań liniowych z parametrem k:

x + ky = 2
kx + y = 1

Chcemy znaleźć wartości parametru k, dla których układ ten ma jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań, lub nie ma rozwiązań wcale. Zbadamy to wykorzystując metodę wyznaczników.

Najpierw obliczamy wyznacznik główny układu, oznaczany jako W:

W = | 1 k | | k 1 |

W = (1 * 1) - (k * k) = 1 - k²

Teraz obliczamy wyznacznik W_x (wyznacznik dla zmiennej x), zastępując kolumnę współczynników przy x kolumną wyrazów wolnych:

W_x = | 2 k | | 1 1 |

W_x = (2 * 1) - (k * 1) = 2 - k

Następnie obliczamy wyznacznik W_y (wyznacznik dla zmiennej y), zastępując kolumnę współczynników przy y kolumną wyrazów wolnych:

W_y = | 1 2 | | k 1 |

W_y = (1 * 1) - (2 * k) = 1 - 2k

Analiza Rozwiązań

Aby układ miał jednoznaczne rozwiązanie, wyznacznik główny W musi być różny od zera:

1 - k² ≠ 0 k² ≠ 1 k ≠ 1 i k ≠ -1

Dla k ≠ 1 i k ≠ -1, układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, które możemy wyznaczyć ze wzorów Cramera:

x = W_x / W = (2 - k) / (1 - k²) = (2 - k) / (1 - k)(1 + k) y = W_y / W = (1 - 2k) / (1 - k²) = (1 - 2k) / (1 - k)(1 + k)

Teraz rozważmy przypadek, gdy k = 1:

Wtedy W = 1 - 1² = 0 W_x = 2 - 1 = 1 W_y = 1 - 2(1) = -1

Ponieważ W = 0 i przynajmniej jeden z wyznaczników W_x lub W_y jest różny od zera (w tym przypadku oba są różne od zera), układ nie ma rozwiązań.

Następnie rozważmy przypadek, gdy k = -1:

Wtedy W = 1 - (-1)² = 0 W_x = 2 - (-1) = 3 W_y = 1 - 2(-1) = 3

Ponownie, W = 0 i przynajmniej jeden z wyznaczników W_x lub W_y jest różny od zera (w tym przypadku oba są różne od zera), więc układ nie ma rozwiązań.

Podsumowanie Wyników

• Jedno rozwiązanie: Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy k ≠ 1 i k ≠ -1. Rozwiązanie to wyraża się wzorami Cramera:
  • x = (2 - k) / (1 - k²)
  • y = (1 - 2k) / (1 - k²)
• Brak rozwiązań: Układ nie ma rozwiązań, gdy k = 1 lub k = -1.

Możemy to sprawdzić podstawiając te wartości do oryginalnego układu równań. Dla k = 1 mamy:

x + y = 2 x + y = 1

Oczywiście, nie ma takich wartości x i y, które jednocześnie spełniałyby oba równania, ponieważ lewe strony są identyczne, a prawe różne.

Dla k = -1 mamy:

x - y = 2 -x + y = 1

Mnożąc drugie równanie przez -1, otrzymujemy:

x - y = 2 x - y = -1

Ponownie, nie ma takich wartości x i y, które spełniałyby oba równania, ponieważ lewe strony są identyczne, a prawe różne.

Rozważmy teraz geometryczną interpretację tego problemu. Każde z równań przedstawia linię prostą na płaszczyźnie xy. Rozwiązanie układu równań odpowiada punktowi przecięcia tych dwóch linii.

• Gdy k ≠ 1 i k ≠ -1, linie przecinają się w jednym punkcie, co odpowiada jednemu rozwiązaniu.
• Gdy k = 1 lub k = -1, linie są równoległe i nie przecinają się, co odpowiada brakowi rozwiązań. Linie te są równoległe, ale nie pokrywają się, dlatego nie mamy nieskończenie wielu rozwiązań.

Aby sprawdzić rozwiązanie dla przypadku jednego rozwiązania (k ≠ 1 i k ≠ -1), możemy wziąć przykładową wartość k, na przykład k = 0. Wtedy układ równań przyjmuje postać:

x = 2 y = 1

Zgodnie z wzorami Cramera:

x = (2 - 0) / (1 - 0²) = 2 / 1 = 2 y = (1 - 2(0)) / (1 - 0²) = 1 / 1 = 1

Zatem wzory Cramera dają poprawne rozwiązanie dla k = 0. Weźmy inną wartość, np. k = 2:

x + 2y = 2 2x + y = 1

Z wzorów Cramera:

x = (2 - 2) / (1 - 2²) = 0 / (-3) = 0 y = (1 - 2(2)) / (1 - 2²) = (1 - 4) / (1 - 4) = -3 / -3 = 1

Podstawiając x = 0 i y = 1 do oryginalnego układu:

0 + 2(1) = 2 (zgadza się) 2(0) + 1 = 1 (zgadza się)

Zatem wzory Cramera działają poprawnie.

Podsumowując, szczegółowo przeanalizowaliśmy układ równań dla różnych wartości parametru k, korzystając z metody wyznaczników i wzorów Cramera. Określiliśmy, kiedy układ ma jedno rozwiązanie i kiedy nie ma żadnego. Zbadaliśmy również geometryczną interpretację problemu i zweryfikowaliśmy nasze wyniki poprzez podstawianie wartości k i sprawdzanie poprawności uzyskanych rozwiązań.