Dany Jest Ciąg Arytmetyczny Pięćdziesiąty Wyraz Tego Ciągu Jest Równy

Dobrze, przygotujmy się do dokładnej analizy pytania dotyczącego ciągu arytmetycznego, ze szczególnym naciskiem na obliczenie wartości pięćdziesiątego wyrazu. Zakładam, że dysponuję kompletnym zestawem danych lub wzorów, które umożliwią mi precyzyjne rozwiązanie problemu.

Rozważmy ogólny przypadek ciągu arytmetycznego. Każdy ciąg arytmetyczny charakteryzuje się tym, że różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Tę stałą różnicę oznaczamy zwykle jako 'r'. Oznacza to, że jeśli mamy pierwszy wyraz ciągu (a₁), to drugi wyraz (a₂) jest równy a₁ + r, trzeci wyraz (a₃) jest równy a₂ + r, czyli a₁ + 2r, i tak dalej.

Ogólny wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego wygląda następująco:

an = a₁ + (n - 1)r

Gdzie:

• an to n-ty wyraz ciągu
• a₁ to pierwszy wyraz ciągu
• n to numer wyrazu w ciągu
• r to różnica ciągu

Aby obliczyć pięćdziesiąty wyraz ciągu (a₅₀), musimy znać wartość pierwszego wyrazu (a₁) oraz różnicę ciągu (r). Załóżmy, że mamy dane te wartości. Wtedy możemy po prostu podstawić je do wzoru.

a₅₀ = a₁ + (50 - 1)r a₅₀ = a₁ + 49r

Jeśli na przykład a₁ = 2 i r = 3, to: a₅₀ = 2 + 49 * 3 a₅₀ = 2 + 147 a₅₀ = 149

Zatem, pięćdziesiąty wyraz ciągu wynosi 149.

Jeżeli nie znamy a₁ i r, ale mamy inne informacje, np. znamy dwa inne wyrazy ciągu, powiedzmy aₘ i aₙ, gdzie m ≠ n, to możemy ułożyć układ równań:

aₘ = a₁ + (m - 1)r aₙ = a₁ + (n - 1)r

Odejmując te równania stronami, otrzymujemy:

aₘ - aₙ = (m - 1)r - (n - 1)r aₘ - aₙ = (m - n)r

Stąd możemy wyznaczyć r:

r = (aₘ - aₙ) / (m - n)

Następnie, po obliczeniu r, możemy podstawić tę wartość do jednego z równań, aby wyznaczyć a₁:

a₁ = aₘ - (m - 1)r (lub a₁ = aₙ - (n - 1)r)

Po obliczeniu a₁ i r, możemy zastosować wzór na a₅₀, jak opisano wcześniej.

Przyjmijmy, że a₁₀ = 20 i a₂₀ = 40. Chcemy znaleźć a₅₀.

Najpierw obliczamy r: r = (a₂₀ - a₁₀) / (20 - 10) r = (40 - 20) / 10 r = 20 / 10 r = 2

Teraz obliczamy a₁: a₁ = a₁₀ - (10 - 1)r a₁ = 20 - 9 * 2 a₁ = 20 - 18 a₁ = 2

Mając a₁ = 2 i r = 2, obliczamy a₅₀: a₅₀ = a₁ + 49r a₅₀ = 2 + 49 * 2 a₅₀ = 2 + 98 a₅₀ = 100

Zatem, w tym przypadku, pięćdziesiąty wyraz ciągu wynosi 100.

Kolejna sytuacja, w której możemy chcieć obliczyć a₅₀, to gdy znamy sumę n początkowych wyrazów ciągu (Sₙ). Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wygląda następująco:

Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ)

Lub alternatywnie:

Sₙ = (n/2) * [2a₁ + (n-1)r]

Jeśli znamy Sₙ i n, to możemy próbować wyznaczyć a₁ i r, ale to wymagałoby dodatkowych informacji lub założenia. Na przykład, jeśli znamy S₂ i a₂, to możemy wyznaczyć a₁. S₂ = a₁ + a₂. Zatem a₁ = S₂ - a₂. Potem r = a₂ - a₁. I znowu, możemy obliczyć a₅₀.

Załóżmy, że S₂ = 8 i a₂ = 5. Wtedy a₁ = S₂ - a₂ = 8 - 5 = 3. r = a₂ - a₁ = 5 - 3 = 2. a₅₀ = a₁ + 49r = 3 + 49*2 = 3 + 98 = 101

W tym przypadku, a₅₀ = 101.

Inne Przypadki i Triki

Czasami, zamiast podawać wprost wartości a₁ i r (lub informacji pozwalających je łatwo wyliczyć), zadanie może być sformułowane w bardziej podchwytliwy sposób. Na przykład, może być podane, że średnia arytmetyczna pewnych dwóch wyrazów ciągu wynosi x. W takim przypadku, wykorzystujemy fakt, że średnia arytmetyczna dwóch wyrazów w ciągu arytmetycznym jest równa wyrazowi znajdującemu się dokładnie pośrodku tych dwóch wyrazów (jeśli istnieje taki wyraz o numerze całkowitym).

Przykład: Średnia arytmetyczna a₂ i a₆ wynosi 10. Ile wynosi a₄? Odpowiedź: a₄ = 10 (bo 4 jest dokładnie pośrodku 2 i 6).

Jeśli zadanie brzmi "Suma a₂ i a₆ wynosi 20. Ile wynosi a₄?", to odpowiedź jest również a₄ = 10, ponieważ a₂ + a₆ = 2a₄.

Podsumowanie i Wskazówki

Podsumowując, aby obliczyć pięćdziesiąty wyraz ciągu arytmetycznego, kluczowe jest zidentyfikowanie a₁ i r. Można to zrobić bezpośrednio, jeśli te wartości są podane, lub pośrednio, wykorzystując informacje o innych wyrazach ciągu, sumach częściowych, średnich arytmetycznych, itp. Należy uważnie czytać treść zadania i zidentyfikować, jakie dane są dostępne, a następnie zastosować odpowiednie wzory i techniki, aby wyznaczyć a₁ i r, a następnie obliczyć a₅₀. Pamiętaj, że zawsze można sprawdzić poprawność wyniku, obliczając kilka kolejnych wyrazów ciągu i upewniając się, że zgadzają się one z podanymi informacjami. Zawsze sprawdź obliczenia! Błąd w obliczeniu 'r' lub 'a₁' prowadzi do błędnego wyniku a₅₀.

Ostatnia uwaga: Czasami zadanie może zawierać pułapki językowe. Upewnij się, że rozumiesz, czy mowa o "pięćdziesiątym wyrazie ciągu", czy o "sumie pięćdziesięciu pierwszych wyrazów ciągu". To są zupełnie różne rzeczy!