Czy Rozwiązaniem Układu Równań Jest Para Liczb Całkowitych

Oczywiście, oto artykuł, który odpowiada na pytanie "Czy rozwiązaniem układu równań jest para liczb całkowitych?", napisany w prosty sposób, z uwzględnieniem Twoich wskazówek:

Zastanówmy się, kiedy możemy powiedzieć, że rozwiązaniem układu równań jest para liczb całkowitych. Spróbujemy to zrozumieć krok po kroku.

Najpierw, co to w ogóle jest układ równań? Wyobraźmy sobie, że mamy dwa równania, w których występują dwie niewiadome, na przykład x i y. Chcemy znaleźć takie wartości x i y, które spełniają oba te równania jednocześnie. To właśnie jest rozwiązanie układu równań.

Na przykład:

Równanie 1: x + y = 5 Równanie 2: x - y = 1

Rozwiązaniem tego układu jest para liczb x = 3 i y = 2, bo:

• 3 + 2 = 5 (Równanie 1 jest spełnione)
• 3 - 2 = 1 (Równanie 2 jest spełnione)

Teraz, czym są liczby całkowite? To liczby, które nie mają części ułamkowej. Mogą być dodatnie (1, 2, 3...), ujemne (-1, -2, -3...) albo równe zero (0). Przykłady liczb całkowitych: -5, 0, 1, 100, -1000. Przykłady liczb, które nie są całkowite: 1.5, -2.7, 1/3.

Czyli, odpowiadając na pytanie, rozwiązaniem układu równań jest para liczb całkowitych, jeśli wartości x i y, które spełniają oba równania, są liczbami całkowitymi.

Jak to sprawdzić?

Najprościej – rozwiązując układ równań. Istnieje kilka metod, żeby to zrobić. Dwie popularne to metoda podstawiania i metoda przeciwnych współczynników.

• Metoda podstawiania: Z jednego równania wyznaczamy jedną niewiadomą (np. x) i wstawiamy ją do drugiego równania. W ten sposób otrzymujemy jedno równanie z jedną niewiadomą, które łatwo rozwiązać. Potem wracamy do pierwszego równania, żeby wyznaczyć drugą niewiadomą.

• Metoda przeciwnych współczynników: Manipulujemy równaniami (mnożymy je przez odpowiednie liczby), tak żeby przy jednej z niewiadomych (np. y) pojawiły się przeciwne współczynniki (np. 2y i -2y). Następnie dodajemy do siebie oba równania. W ten sposób jedna z niewiadomych znika, a my otrzymujemy jedno równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązujemy je, a potem wstawiamy wynik do jednego z oryginalnych równań, żeby znaleźć drugą niewiadomą.

Pokażemy to na przykładach.

Przykład 1:

Równanie 1: 2x + y = 7 Równanie 2: x - y = 2

Użyjemy metody przeciwnych współczynników. Widzimy, że przy y mamy już przeciwne współczynniki (1 i -1), więc po prostu dodajemy równania stronami:

(2x + y) + (x - y) = 7 + 2 3x = 9 x = 3

Teraz wstawiamy x = 3 do Równania 2 (moglibyśmy też do Równania 1):

3 - y = 2 -y = -1 y = 1

Rozwiązaniem jest para x = 3 i y = 1. Obie liczby są całkowite, więc tak, rozwiązaniem układu równań jest para liczb całkowitych.

Przykład 2:

Równanie 1: x + 2y = 4 Równanie 2: x - y = 1

Użyjemy metody podstawiania. Z Równania 2 wyznaczamy x:

x = y + 1

Teraz wstawiamy to do Równania 1:

(y + 1) + 2y = 4 3y + 1 = 4 3y = 3 y = 1

Teraz wracamy do x = y + 1:

x = 1 + 1 x = 2

Rozwiązaniem jest para x = 2 i y = 1. Obie liczby są całkowite, więc tak, rozwiązaniem układu równań jest para liczb całkowitych.

Przykład 3:

Równanie 1: 2x + 4y = 5 Równanie 2: x + y = 1

Użyjemy metody przeciwnych współczynników. Pomnożymy Równanie 2 przez -2:

Równanie 1: 2x + 4y = 5 Równanie 2 (po pomnożeniu): -2x - 2y = -2

Dodajemy równania stronami:

(2x + 4y) + (-2x - 2y) = 5 - 2 2y = 3 y = 3/2

Już wiemy, że y nie jest liczbą całkowitą. Nie musimy nawet obliczać x, żeby stwierdzić, że rozwiązaniem układu nie jest para liczb całkowitych.

Podsumowanie

Podsumowując, żeby sprawdzić, czy rozwiązaniem układu równań jest para liczb całkowitych, musimy ten układ rozwiązać i zobaczyć, czy wartości x i y są liczbami całkowitymi. Jeśli obie są całkowite, to odpowiedź brzmi "tak". Jeśli przynajmniej jedna z nich nie jest liczbą całkowitą, to odpowiedź brzmi "nie". Czasem, jak w Przykładzie 3, możemy to stwierdzić, nie obliczając wszystkich niewiadomych.

Warto pamiętać, że niektóre układy równań mogą nie mieć żadnego rozwiązania (są sprzeczne) albo mieć nieskończenie wiele rozwiązań. W takich przypadkach musimy to ustalić przed sprawdzeniem, czy którekolwiek z rozwiązań jest parą liczb całkowitych.

Na przykład, układ:

x + y = 2 2x + 2y = 4

ma nieskończenie wiele rozwiązań. Zauważ, że drugie równanie jest po prostu pomnożeniem pierwszego równania przez 2. Oznacza to, że mamy tak naprawdę tylko jedno równanie. Możemy wybrać dowolną liczbę całkowitą dla x, a potem obliczyć y = 2 - x. Zatem, tak, istnieją rozwiązania, które są parami liczb całkowitych. Na przykład (0,2), (1,1), (2,0), (-1,3) i tak dalej.

Z drugiej strony, układ:

x + y = 2 x + y = 3

nie ma żadnego rozwiązania. Nie da się znaleźć takich liczb x i y, żeby ich suma była jednocześnie równa 2 i 3. Zatem, z definicji, nie ma rozwiązania, które byłoby parą liczb całkowitych.

Dlatego zawsze trzeba najpierw upewnić się, czy układ równań ma rozwiązanie, a potem sprawdzić, czy jest to para liczb całkowitych.