Co To Jest Współczynnik Kierunkowy Funkcji Liniowej

Witam wszystkich! Dzisiaj porozmawiamy o czymś, co często pojawia się w matematyce – o współczynniku kierunkowym funkcji liniowej. To tak naprawdę nic strasznego, obiecuję! Postaram się to wytłumaczyć w prosty i przystępny sposób, tak żeby każdy zrozumiał.

Funkcja liniowa, jak sama nazwa wskazuje, to funkcja, której wykres na kartce wygląda jak linia prosta. Wyobraź sobie, że rysujesz prostą na kartce. Może ona iść w górę, w dół, albo być zupełnie pozioma. Współczynnik kierunkowy mówi nam, jak bardzo ta prosta idzie w górę lub w dół – czyli jaki jest jej kierunek!

Formalnie, funkcja liniowa ma postać:

y = ax + b

Gdzie:

y to wartość funkcji (na osi pionowej)
x to argument funkcji (na osi poziomej)
a to właśnie współczynnik kierunkowy – to on nas najbardziej interesuje.
b to wyraz wolny – mówi nam, w którym miejscu prosta przecina oś y. Na razie go pominiemy, żeby skupić się na współczynniku a.

Co nam ten współczynnik a tak naprawdę mówi?

Współczynnik kierunkowy a informuje nas o tym, o ile jednostek zmienia się wartość y, gdy x zmienia się o jedną jednostkę. Inaczej mówiąc, mówi nam o nachyleniu prostej.

Wyobraź sobie, że masz prostą o równaniu y = 2x + 1. Współczynnik kierunkowy a wynosi tutaj 2. Oznacza to, że jeśli przesuniemy się o jedną jednostkę w prawo (czyli zwiększymy x o 1), to wartość y wzrośnie o 2 jednostki. Czyli, idąc w prawo po tej prostej, będziemy się wznosić.

Jeśli a jest dodatnie, to prosta idzie w górę (jest rosnąca). Im większe a, tym bardziej stroma jest prosta. Jeśli a jest ujemne, to prosta idzie w dół (jest malejąca). Im bardziej ujemne a, tym bardziej stroma jest prosta, ale w dół. Jeśli a jest równe 0, to prosta jest pozioma (stała). Wtedy równanie funkcji wygląda po prostu y = b.

Przykłady

Żeby to lepiej zrozumieć, spójrzmy na kilka przykładów:

y = 3x - 2 – tutaj a = 3. Prosta idzie w górę, i to dość stromo. Za każdym razem, gdy x wzrośnie o 1, y wzrośnie o 3.
y = -x + 5 – tutaj a = -1. Prosta idzie w dół. Za każdym razem, gdy x wzrośnie o 1, y zmaleje o 1.
y = 0.5x + 10 – tutaj a = 0.5. Prosta idzie w górę, ale bardzo łagodnie. Za każdym razem, gdy x wzrośnie o 1, y wzrośnie tylko o 0.5.
y = -2x - 3 – tutaj a = -2. Prosta idzie w dół dość stromo. Za każdym razem, gdy x wzrośnie o 1, y zmaleje o 2.
y = 7 – tutaj tak jakby a = 0. To funkcja stała. Bez względu na to, jaką wartość ma x, y zawsze będzie równe 7.

Jak obliczyć współczynnik kierunkowy znając dwa punkty na prostej?

Czasami mamy daną prostą, ale nie znamy jej równania. Znamy za to dwa punkty, które leżą na tej prostej. Jak w takiej sytuacji obliczyć współczynnik kierunkowy?

Załóżmy, że mamy punkty (x1, y1) i (x2, y2). Wzór na współczynnik kierunkowy a wygląda następująco:

a = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Inaczej mówiąc, odejmujemy od siebie wartości y tych punktów, odejmujemy od siebie wartości x tych punktów, a następnie dzielimy wynik odejmowania y przez wynik odejmowania x. Ważne jest, żeby odejmować w tej samej kolejności!

Przykład:

Mamy punkty (1, 3) i (4, 9). Chcemy znaleźć współczynnik kierunkowy prostej, która przechodzi przez te punkty.

a = (9 - 3) / (4 - 1) = 6 / 3 = 2

Czyli współczynnik kierunkowy tej prostej wynosi 2. Oznacza to, że prosta idzie w górę, i za każdym razem, gdy x wzrośnie o 1, y wzrośnie o 2.

Jeszcze jeden przykład:

Mamy punkty (-2, 5) i (3, -5).

a = (-5 - 5) / (3 - (-2)) = -10 / 5 = -2

Współczynnik kierunkowy tej prostej wynosi -2. Prosta idzie w dół, i za każdym razem, gdy x wzrośnie o 1, y zmaleje o 2.

Pamiętaj!

Współczynnik kierunkowy a to bardzo ważna informacja o funkcji liniowej. Mówi nam on, czy prosta idzie w górę, w dół, czy jest pozioma, a także jak bardzo jest stroma. Znając współczynnik kierunkowy i jeden punkt na prostej, możemy napisać równanie tej prostej. Znamy też sposób na obliczenie współczynnika kierunkowego, mając dane dwa punkty na prostej.

Mam nadzieję, że teraz współczynnik kierunkowy funkcji liniowej jest dla Ciebie bardziej zrozumiały. Jeśli masz jakieś pytania, śmiało pytaj! Pamiętaj, że praktyka czyni mistrza, więc spróbuj rozwiązać kilka zadań, żeby utrwalić swoją wiedzę. Powodzenia!