Cke Egzamin ósmoklasisty 2022 Odpowiedzi Matematyka

Dzień dobry wszystkim ósmoklasistom! Wiem, że egzamin z matematyki to duże wydarzenie, więc postaram się wam pomóc zrozumieć, jak można było rozwiązać zadania z CKE Egzaminu Ósmoklasisty z Matematyki 2022. Przejdziemy przez kilka przykładowych zadań, omawiając krok po kroku, jak można było do nich podejść. Pamiętajcie, że najważniejsze to zrozumieć logikę stojącą za rozwiązaniem, a nie tylko zapamiętać same wyniki.

Zacznijmy od czegoś prostszego. Załóżmy, że mieliśmy zadanie, w którym trzeba było obliczyć pole prostokąta, znając długość jednego boku i obwód. Przykładowo, mamy prostokąt, którego jeden bok ma długość 5 cm, a obwód wynosi 26 cm. Jak to rozwiązać?

Pamiętajmy, że obwód prostokąta to suma długości wszystkich jego boków. Oznaczmy drugi bok jako 'x'. Zatem, mamy równanie: 5 + x + 5 + x = 26. Upraszczając, otrzymujemy 2x + 10 = 26. Teraz odejmujemy 10 od obu stron, co daje nam 2x = 16. Dzielimy obie strony przez 2, i voila! x = 8 cm. Teraz, gdy znamy długości obu boków (5 cm i 8 cm), możemy obliczyć pole. Pole prostokąta to iloczyn długości jego boków, więc 5 cm * 8 cm = 40 cm². Odpowiedź: Pole prostokąta wynosi 40 cm².

Kolejny przykład: zadanie z procentami. Wyobraźmy sobie, że cena produktu została obniżona o 20%, a nowa cena wynosi 80 zł. Ile wynosiła cena przed obniżką?

Oznaczmy cenę przed obniżką jako 'y'. Wiemy, że 80 zł to 80% ceny początkowej (bo 100% - 20% = 80%). Możemy zapisać to jako równanie: 0,8 * y = 80. Dzielimy obie strony przez 0,8, co daje nam y = 100 zł. Odpowiedź: Cena produktu przed obniżką wynosiła 100 zł.

Teraz coś z geometrii przestrzennej. Załóżmy, że mamy sześcian o krawędzi długości 4 cm. Oblicz jego objętość.

Objętość sześcianu obliczamy, podnosząc długość jego krawędzi do potęgi trzeciej. Czyli: 4 cm * 4 cm * 4 cm = 64 cm³. Odpowiedź: Objętość sześcianu wynosi 64 cm³.

Przejdźmy teraz do zadania, które może wydawać się trudniejsze na pierwszy rzut oka, ale tak naprawdę jest do rozwiązania krok po kroku. Powiedzmy, że mamy zadanie z treścią dotyczące drogi, prędkości i czasu. Dwóch rowerzystów wyjechało jednocześnie z dwóch miejscowości oddalonych od siebie o 60 km. Jeden jedzie z prędkością 15 km/h, a drugi z prędkością 10 km/h. Po jakim czasie się spotkają?

Oznaczmy czas, po którym się spotkają, jako 't'. Rowerzysta jadący z prędkością 15 km/h pokona drogę 15t, a rowerzysta jadący z prędkością 10 km/h pokona drogę 10t. Razem pokonają całą odległość między miejscowościami, czyli 60 km. Zatem, mamy równanie: 15t + 10t = 60. Upraszczając, otrzymujemy 25t = 60. Dzielimy obie strony przez 25, co daje nam t = 2,4 godziny. Możemy to zamienić na godziny i minuty: 0,4 godziny to 0,4 * 60 minut = 24 minuty. Odpowiedź: Rowerzyści spotkają się po 2 godzinach i 24 minutach.

Kolejny przykład, zadanie z ułamkami. Mamy działkę, z czego 1/3 jest przeznaczona na sad, 1/4 na warzywniak, a reszta na trawnik. Jaka część działki zajmuje trawnik?

Musimy obliczyć, jaka część działki jest zajęta przez sad i warzywniak razem. Dodajemy ułamki: 1/3 + 1/4. Aby to zrobić, musimy znaleźć wspólny mianownik, którym jest 12. Zatem, 1/3 = 4/12 i 1/4 = 3/12. Dodajemy: 4/12 + 3/12 = 7/12. To oznacza, że 7/12 działki zajmują sad i warzywniak. Cała działka to 1, czyli 12/12. Odejmujemy od całości to, co zajmują sad i warzywniak: 12/12 - 7/12 = 5/12. Odpowiedź: Trawnik zajmuje 5/12 działki.

Przykładowe Zadania i Rozwiązania

Spróbujmy teraz z zadaniem, które łączy kilka różnych umiejętności. Załóżmy, że mamy trapez równoramienny, którego krótsza podstawa ma długość 6 cm, ramię ma długość 5 cm, a kąt ostry przy podstawie ma miarę 60 stopni. Oblicz pole tego trapezu.

Żeby obliczyć pole trapezu, potrzebujemy długości obu podstaw i wysokości. Mamy już długość krótszej podstawy (6 cm). Musimy obliczyć długość dłuższej podstawy i wysokość.

Zauważmy, że możemy podzielić trapez na prostokąt i dwa trójkąty prostokątne o kącie 60 stopni. Wysokość trapezu jest jednocześnie wysokością tych trójkątów. Znamy długość ramienia trapezu (5 cm), które jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym. Możemy użyć funkcji trygonometrycznych, aby obliczyć wysokość i długość odcinka podstawy, który jest przyległy do kąta 60 stopni.

Sinus kąta 60 stopni to wysokość podzielona przez długość ramienia. Sin 60° = √3/2. Zatem, √3/2 = wysokość / 5 cm. Mnożymy obie strony przez 5 cm, co daje nam wysokość = 5√3/2 cm.

Kosinus kąta 60 stopni to długość odcinka podstawy podzielona przez długość ramienia. Cos 60° = 1/2. Zatem, 1/2 = długość odcinka / 5 cm. Mnożymy obie strony przez 5 cm, co daje nam długość odcinka = 2,5 cm.

Mamy dwa takie odcinki, po jednym z każdej strony trapezu. Zatem, długość dłuższej podstawy to: 6 cm (krótsza podstawa) + 2 * 2,5 cm = 6 cm + 5 cm = 11 cm.

Teraz możemy obliczyć pole trapezu. Pole trapezu to (a + b) * h / 2, gdzie a i b to długości podstaw, a h to wysokość. Zatem, pole = (6 cm + 11 cm) * (5√3/2 cm) / 2 = 17 cm * (5√3/2 cm) / 2 = 85√3 / 4 cm². Odpowiedź: Pole trapezu wynosi 85√3 / 4 cm².

Inny przykład: zadanie z algebry. Rozwiąż równanie: 3(x - 2) + 5 = 2x + 1.

Najpierw pozbądźmy się nawiasu: 3x - 6 + 5 = 2x + 1. Upraszczamy: 3x - 1 = 2x + 1. Teraz odejmujemy 2x od obu stron: x - 1 = 1. Dodajemy 1 do obu stron: x = 2. Odpowiedź: x = 2.

Kolejny przykład, tym razem dotyczący prawdopodobieństwa. W pudełku jest 5 kul białych i 3 kule czarne. Losujemy jedną kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej?

Prawdopodobieństwo to stosunek liczby zdarzeń sprzyjających (wylosowanie białej kuli) do liczby wszystkich możliwych zdarzeń (wylosowanie dowolnej kuli). Mamy 5 kul białych i 8 kul w sumie (5 białych + 3 czarne). Zatem, prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi 5/8. Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi 5/8.

Pamiętajcie, że kluczem do sukcesu na egzaminie jest systematyczna nauka i rozwiązywanie jak największej liczby zadań. Im więcej ćwiczycie, tym lepiej rozumiecie matematykę i tym pewniej się czujecie. Powodzenia!