Cięciwy Ab I Ac Pewnego Okręgu Są Do Siebie Prostopadłe

Rozważmy okrąg. Narysujmy cięciwę AB. Teraz narysujmy cięciwę AC. Załóżmy, że cięciwy AB i AC są do siebie prostopadłe. Co możemy powiedzieć o tej konfiguracji? Jakie własności posiada? Co wynika z tej prostopadłości?

Zacznijmy od podstawowych obserwacji. Skoro AB i AC są prostopadłe, kąt BAC jest kątem prostym. Oznacza to, że miara kąta BAC wynosi 90 stopni.

Teraz przypomnijmy sobie twierdzenie o kącie wpisanym opartym na średnicy. Mówi ono, że kąt wpisany oparty na średnicy okręgu jest kątem prostym. Zatem, jeśli kąt BAC jest prosty i wpisany w okrąg, to cięciwa BC musi być średnicą tego okręgu. To bardzo ważny wniosek. Prostopadłość cięciw AB i AC implikuje, że odcinek BC jest średnicą okręgu.

To otwiera przed nami wiele możliwości dalszej analizy. Możemy na przykład zastanowić się nad położeniem środka okręgu. Skoro BC jest średnicą, to środek okręgu leży w połowie odcinka BC. Nazwijmy ten środek punktem O.

Możemy teraz spróbować znaleźć jakieś zależności między długościami odcinków AB, AC i BC. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że w trójkącie prostokątnym ABC zachodzi zależność: AB² + AC² = BC².

Ponieważ BC jest średnicą okręgu, możemy wyrazić jej długość za pomocą promienia okręgu, który oznaczymy jako r. Wtedy BC = 2r. Zatem równanie z twierdzenia Pitagorasa przyjmuje postać: AB² + AC² = (2r)², czyli AB² + AC² = 4r².

To kolejna ważna zależność, która łączy długości cięciw AB i AC z promieniem okręgu. Im większe są długości cięciw, tym większy musi być promień okręgu, aby zachować prostopadłość cięciw.

Możemy rozważyć różne konfiguracje punktów A, B i C na okręgu, tak aby cięciwy AB i AC były prostopadłe. Punkt A może poruszać się po okręgu, ale musi spełniać warunek, że kąt BAC jest prosty. Punkty B i C są wówczas wyznaczone jednoznacznie przez punkt A i fakt, że BC jest średnicą.

Spróbujmy teraz pójść w innym kierunku. Zastanówmy się, co się dzieje, gdy poprowadzimy styczną do okręgu w punkcie A. Oznaczmy punkt przecięcia tej stycznej z prostą BC jako punkt D.

Ponieważ styczna jest prostopadła do promienia okręgu poprowadzonego do punktu styczności, kąt DAO jest prosty. Ponadto, kąt BAO jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym ABO, a kąt CAO jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym ACO.

Możemy teraz analizować trójkąty podobne. Zauważmy, że trójkąty ABD i ACD są podobne. Dlaczego? Oba trójkąty mają kąt prosty (ABD i ACD). Dodatkowo, kąt BAD jest równy kątowi ACB (są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku AB). Zatem, trójkąty ABD i ACD są podobne na podstawie cechy kąt-kąt.

Z podobieństwa trójkątów ABD i ACD wynika, że stosunek odpowiednich boków jest taki sam: AB/AC = BD/AD = AD/CD. Z tego możemy wywnioskować, że AD² = BD * CD.

To kolejna ciekawa zależność, która wiąże długości odcinków BD, CD i AD. W szczególności, AD jest średnią geometryczną odcinków BD i CD.

Dalsze Rozważania Geometryczne

Możemy również zastanowić się nad polem trójkąta ABC. Ponieważ jest to trójkąt prostokątny, jego pole jest równe połowie iloczynu długości przyprostokątnych: P = (1/2) * AB * AC.

Możemy również wyrazić pole trójkąta ABC za pomocą długości średnicy BC i wysokości poprowadzonej na tę średnicę, która jest równa promieniowi okręgu r. Zatem, P = (1/2) * BC * r = (1/2) * 2r * r = r².

Porównując oba wyrażenia na pole trójkąta ABC, otrzymujemy: (1/2) * AB * AC = r², czyli AB * AC = 2r². To kolejna zależność, która łączy długości cięciw AB i AC z promieniem okręgu.

Zauważmy, że z nierówności Cauchy’ego-Schwarza wynika, że (AB² + AC²) / 2 >= (AB * AC)². Podstawiając wcześniej uzyskane zależności, otrzymujemy: (4r²) / 2 >= (2r²)². To jednak prowadzi do sprzeczności, więc musimy uważać, jak stosujemy nierówności.

Spróbujmy inaczej. Wiemy, że AB² + AC² = 4r² i AB * AC = 2r². Podnieśmy drugie równanie do kwadratu: (AB * AC)² = 4r⁴.

Możemy teraz zastanowić się, kiedy pole trójkąta ABC jest największe. Pole jest największe, gdy iloczyn AB * AC jest największy. Z wcześniejszych rozważań wiemy, że AB * AC = 2r². Ponieważ promień r jest stały, pole trójkąta ABC jest stałe i nie zależy od konkretnego położenia punktu A na okręgu (pod warunkiem zachowania prostopadłości cięciw AB i AC).

Wykorzystanie Trygonometrii

Spróbujmy teraz wykorzystać funkcje trygonometryczne. Oznaczmy kąt ABC jako α. Wtedy kąt ACB wynosi 90° - α.

Możemy wyrazić długości cięciw AB i AC za pomocą funkcji trygonometrycznych kąta α i średnicy BC:

AB = BC * cos(α) = 2r * cos(α) AC = BC * sin(α) = 2r * sin(α)

Podstawiając te wyrażenia do zależności AB² + AC² = 4r², otrzymujemy:

(2r * cos(α))² + (2r * sin(α))² = 4r² 4r² * cos²(α) + 4r² * sin²(α) = 4r² 4r² * (cos²(α) + sin²(α)) = 4r²

Ponieważ cos²(α) + sin²(α) = 1, powyższa równość jest zawsze spełniona, co potwierdza poprawność naszych wcześniejszych rozważań.

Wykorzystując te same wyrażenia, możemy sprawdzić zależność AB * AC = 2r²:

(2r * cos(α)) * (2r * sin(α)) = 2r² 4r² * cos(α) * sin(α) = 2r² 2 * cos(α) * sin(α) = 1

Przypomnijmy sobie, że 2 * cos(α) * sin(α) = sin(2α). Zatem, sin(2α) = 1. Stąd wynika, że 2α = 90°, czyli α = 45°.

To oznacza, że kąt ABC musi wynosić 45 stopni, aby iloczyn AB * AC był równy 2r². W takim przypadku trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym.

Podsumowując, jeśli cięciwy AB i AC okręgu są do siebie prostopadłe, to cięciwa BC jest średnicą tego okręgu. Możemy znaleźć wiele zależności między długościami cięciw, promieniem okręgu i kątami w trójkącie ABC, wykorzystując twierdzenie Pitagorasa, twierdzenie o kącie wpisanym opartym na średnicy, podobieństwo trójkątów oraz funkcje trygonometryczne. Analiza geometryczna prowadzi do ciekawych wniosków na temat własności takiej konfiguracji.