Bryły Obrotowe Sprawdzian 3 Gimnazjum Nowa Era

Bryły obrotowe to figury przestrzenne, które powstają przez obrót figury płaskiej wokół prostej, zwanej osią obrotu. Omówimy trzy podstawowe bryły obrotowe: walec, stożek i kulę. Sprawdzimy, jak obliczać ich objętości i pola powierzchni.

Walec

Walec powstaje przez obrót prostokąta wokół jednego z jego boków. Ten bok staje się wysokością walca (H). Drugi bok prostokąta to promień podstawy walca (r). Wyobraź sobie obracający się wokół osi zeszyt – to tworzy walec!

Objętość walca (V) obliczamy wzorem: V = πr²H. Oznacza to, że mnożymy pole podstawy (πr²) przez wysokość. Z kolei pole powierzchni walca (P) to suma pól dwóch podstaw i pola powierzchni bocznej: P = 2πr² + 2πrH.

Przykład: Walec ma promień podstawy r = 3 cm i wysokość H = 5 cm. Jego objętość to V = π * 3² * 5 = 45π cm³. Pole powierzchni to P = 2π * 3² + 2π * 3 * 5 = 18π + 30π = 48π cm².

Stożek

Stożek powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego przyprostokątnych. Ta przyprostokątna to wysokość stożka (H). Druga przyprostokątna to promień podstawy stożka (r). Przeciwprostokątna trójkąta to tworząca stożka (l).

Objętość stożka (V) to jedna trzecia objętości walca o takim samym promieniu i wysokości: V = (1/3)πr²H. Pole powierzchni stożka (P) to suma pola podstawy i pola powierzchni bocznej: P = πr² + πrl.

Przykład: Stożek ma promień podstawy r = 4 cm, wysokość H = 3 cm. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy tworzącą: l = √(r² + H²) = √(4² + 3²) = 5 cm. Jego objętość to V = (1/3)π * 4² * 3 = 16π cm³. Pole powierzchni to P = π * 4² + π * 4 * 5 = 16π + 20π = 36π cm².

Kula

Kula powstaje przez obrót koła wokół jego średnicy. Średnica staje się osią obrotu. Jedynym parametrem kuli jest jej promień (r).

Objętość kuli (V) obliczamy wzorem: V = (4/3)πr³. Pole powierzchni kuli (P) to: P = 4πr². Pamiętaj, że pole powierzchni kuli jest równe czterem polom koła o tym samym promieniu!

Przykład: Kula ma promień r = 2 cm. Jej objętość to V = (4/3)π * 2³ = (32/3)π cm³. Pole powierzchni to P = 4π * 2² = 16π cm².

Zrozumienie brył obrotowych i umiejętność obliczania ich objętości i pól powierzchni są bardzo ważne. Pozwalają nam na rozwiązywanie wielu praktycznych problemów, np. obliczanie pojemności zbiorników czy ilości materiału potrzebnego do budowy różnych obiektów.