Bryły Narysowane Obok To Sześcian I Prostopadłościan Uzupełnij Tabelkę

Dobrze, uczniowie, spójrzmy na te bryły i uzupełnijmy tabelkę. Zakładam, że mamy sześcian i prostopadłościan narysowane obok siebie, a naszym zadaniem jest obliczenie różnych parametrów, takich jak objętość, pole powierzchni i być może długości krawędzi. Potrzebujemy jednak więcej informacji. Przyjmijmy na początek, że dysponujemy następującymi danymi:

Sześcian:

• Długość krawędzi (a) = 5 cm

Prostopadłościan:

• Długość (l) = 8 cm
• Szerokość (w) = 4 cm
• Wysokość (h) = 3 cm

Obliczenia dla sześcianu:

Objętość sześcianu (V) = a^3 = 5 cm * 5 cm * 5 cm = 125 cm^3

Pole powierzchni sześcianu (A) = 6 * a^2 = 6 * (5 cm * 5 cm) = 6 * 25 cm^2 = 150 cm^2

Obliczenia dla prostopadłościanu:

Objętość prostopadłościanu (V) = l * w * h = 8 cm * 4 cm * 3 cm = 96 cm^3

Pole powierzchni prostopadłościanu (A) = 2 * (lw + lh + wh) = 2 * (8cm4cm + 8cm3cm + 4cm3cm) = 2 * (32cm^2 + 24cm^2 + 12cm^2) = 2 * 68 cm^2 = 136 cm^2

Teraz, załóżmy, że sytuacja jest inna i mamy podane inne dane. Na przykład, powiedzmy, że znamy objętość prostopadłościanu i dwie z jego krawędzi, a musimy obliczyć trzecią.

Prostopadłościan:

• Objętość (V) = 120 cm^3
• Długość (l) = 6 cm
• Szerokość (w) = 5 cm

Obliczamy wysokość (h):

V = l * w * h 120 cm^3 = 6 cm * 5 cm * h 120 cm^3 = 30 cm^2 * h h = 120 cm^3 / 30 cm^2 = 4 cm

W takim przypadku, wysokość prostopadłościanu wynosi 4 cm.

Kolejny przykład. Załóżmy, że znamy pole powierzchni sześcianu i musimy obliczyć długość jego krawędzi.

Sześcian:

• Pole powierzchni (A) = 96 cm^2

Obliczamy długość krawędzi (a):

A = 6 * a^2 96 cm^2 = 6 * a^2 a^2 = 96 cm^2 / 6 a^2 = 16 cm^2 a = sqrt(16 cm^2) = 4 cm

Długość krawędzi sześcianu wynosi 4 cm.

Dalsze rozważania o bryłach

Zastanówmy się nad bardziej złożonym przypadkiem. Załóżmy, że sześcian i prostopadłościan są postawione obok siebie, a my musimy obliczyć pole powierzchni figury, która powstała przez ich połączenie. W tym przypadku musimy uważać, aby nie liczyć dwa razy powierzchni styku.

Załóżmy, że sześcian i prostopadłościan stykają się jedną ze ścian sześcianu z jedną ze ścian prostopadłościanu (o tych samych wymiarach).

Sześcian:

• Długość krawędzi (a) = 4 cm

Prostopadłościan:

• Długość (l) = 6 cm
• Szerokość (w) = 4 cm (taka sama jak krawędź sześcianu, aby mogły się stykać)
• Wysokość (h) = 3 cm

Pole powierzchni sześcianu (A_sześcian) = 6 * a^2 = 6 * (4 cm * 4 cm) = 96 cm^2 Pole powierzchni prostopadłościanu (A_prostopadłościan) = 2 * (lw + lh + wh) = 2 * (6cm4cm + 6cm3cm + 4cm3cm) = 2 * (24cm^2 + 18cm^2 + 12cm^2) = 2 * 54 cm^2 = 108 cm^2

Powierzchnia styku (A_styk) = a^2 = 4 cm * 4 cm = 16 cm^2

Pole powierzchni powstałej figury (A_całkowite) = A_sześcian + A_prostopadłościan - 2 * A_styk = 96 cm^2 + 108 cm^2 - 2 * 16 cm^2 = 204 cm^2 - 32 cm^2 = 172 cm^2

Przykłady z użyciem przekątnych

A teraz spójrzmy na sytuację, gdy znamy długość przekątnej sześcianu i musimy obliczyć jego objętość.

Sześcian:

• Długość przekątnej (d) = 7 cm

Długość krawędzi sześcianu (a) można obliczyć ze wzoru d = a * sqrt(3)

a = d / sqrt(3) = 7 cm / sqrt(3) ≈ 4.04 cm

Objętość sześcianu (V) = a^3 = (7 cm / sqrt(3))^3 ≈ (4.04 cm)^3 ≈ 66.06 cm^3

Rozważmy jeszcze sytuację, w której podano nam pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu oraz stosunek długości jego krawędzi. Załóżmy, że długości krawędzi pozostają w stosunku 2:3:4.

Prostopadłościan:

• Pole powierzchni całkowitej (A) = 208 cm^2
• Stosunek długości krawędzi: l:w:h = 2:3:4

Oznaczmy krawędzie jako:

l = 2x w = 3x h = 4x

Pole powierzchni całkowitej:

A = 2 * (lw + lh + wh) 208 cm^2 = 2 * ((2x)(3x) + (2x)(4x) + (3x)(4x)) 208 cm^2 = 2 * (6x^2 + 8x^2 + 12x^2) 208 cm^2 = 2 * (26x^2) 208 cm^2 = 52x^2 x^2 = 208 cm^2 / 52 x^2 = 4 cm^2 x = sqrt(4 cm^2) = 2 cm

Zatem:

l = 2 * 2 cm = 4 cm w = 3 * 2 cm = 6 cm h = 4 * 2 cm = 8 cm

Objętość prostopadłościanu (V) = l * w * h = 4 cm * 6 cm * 8 cm = 192 cm^3

Mam nadzieję, że te przykłady pomogą wam w uzupełnieniu tabelki! Pamiętajcie, żeby zawsze dokładnie analizować dane wejściowe i odpowiednio dobierać wzory. Jeśli macie konkretny przykład z tabelką, podzielcie się nim, a pomogę wam go rozwiązać krok po kroku. Kluczem jest zrozumienie zależności między poszczególnymi parametrami brył i umiejętność przekształcania wzorów. Powodzenia!