Andrzej Kiełbasa Matura Z Matematyki 2018 Poziom Rozszerzony

Okej, postaram się wytłumaczyć zadania z Matury z Matematyki 2018, poziom rozszerzony, autorstwa Andrzeja Kiełbasy w sposób prosty i zrozumiały. Pamiętajcie, że skupię się na samych rozwiązaniach, bez wnikania w głęboką teorię. Gotowi? Zaczynamy!

Zadanie 1. (Prawdopodobieństwo)

Mamy urnę z kulami. Część jest białych, część czarnych. Trzeba policzyć prawdopodobieństwo wylosowania najpierw białej, a potem czarnej kuli (bez zwracania).

• Liczymy wszystkie kule na początku.
• Liczymy prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli jako pierwszej. Dzielimy liczbę białych kul przez liczbę wszystkich kul.
• Zmniejszamy liczbę białych kul o jeden (bo jedną wyciągnęliśmy). Zmniejszamy też liczbę wszystkich kul o jeden.
• Liczymy prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli jako drugiej. Dzielimy liczbę czarnych kul przez nową liczbę wszystkich kul.
• Mnożymy te dwa prawdopodobieństwa. To jest nasz wynik.

Zadanie 2. (Funkcja kwadratowa)

Dana jest funkcja kwadratowa. Trzeba znaleźć jej wzór w postaci kanonicznej.

• Liczymy deltę ze wzoru Δ = b² - 4ac (gdzie a, b, c to współczynniki funkcji kwadratowej).
• Liczymy współrzędne wierzchołka paraboli: p = -b/2a, q = -Δ/4a.
• Wzór funkcji w postaci kanonicznej to f(x) = a(x - p)² + q. Wstawiamy policzone p i q oraz współczynnik a (który jest taki sam jak w postaci ogólnej funkcji).

Zadanie 3. (Logarytmy)

Trzeba rozwiązać równanie logarytmiczne.

• Określamy dziedzinę logarytmów. Logarytm istnieje tylko dla liczb dodatnich. Sprawdzamy, dla jakich x wyrażenia logarytmowane są większe od zera.
• Korzystamy z własności logarytmów, żeby uprościć równanie. Na przykład logₐ(x) + logₐ(y) = logₐ(xy), logₐ(x) - logₐ(y) = logₐ(x/y).
• Pozbywamy się logarytmów, np. jeśli logₐ(x) = logₐ(y), to x = y.
• Rozwiązujemy powstałe równanie (zwykle kwadratowe lub liniowe).
• Sprawdzamy, czy rozwiązania należą do dziedziny. Odrzucamy te, które nie należą.

Zadanie 4. (Trygonometria)

Trzeba rozwiązać równanie trygonometryczne.

• Przekształcamy równanie, żeby po jednej stronie mieć tylko funkcję trygonometryczną (np. sin(x), cos(x), tan(x)), a po drugiej liczbę.
• Patrzymy, dla jakich kątów funkcja trygonometryczna przyjmuje daną wartość. Możemy posłużyć się wykresem funkcji lub tablicami wartości.
• Pamiętamy o okresowości funkcji trygonometrycznych. Dodajemy do każdego rozwiązania okres funkcji (np. 2πk dla sinusa i cosinusa, πk dla tangensa, gdzie k jest liczbą całkowitą).

Zadanie 5. (Geometria analityczna)

Dany jest okrąg i prosta. Trzeba znaleźć punkty przecięcia okręgu z prostą (jeśli istnieją).

• Zapisujemy równanie okręgu w postaci (x - a)² + (y - b)² = r² (gdzie (a, b) to środek okręgu, a r to promień).
• Zapisujemy równanie prostej w postaci y = mx + n.
• Podstawiamy równanie prostej do równania okręgu (w miejsce y wstawiamy mx + n).
• Otrzymujemy równanie kwadratowe ze zmienną x. Rozwiązujemy to równanie.
• Jeśli równanie ma dwa rozwiązania, to prosta przecina okrąg w dwóch punktach. Jeśli ma jedno rozwiązanie, to prosta jest styczna do okręgu. Jeśli nie ma rozwiązań, to prosta nie przecina okręgu.
• Dla każdego x znajdujemy odpowiadające mu y, podstawiając x do równania prostej.

Zadania Optymalizacyjne i Dowodowe

Zadanie 6. (Optymalizacja)

Mamy jakiś problem (np. pole prostokąta o danym obwodzie) i trzeba znaleźć wartość, dla której coś jest największe lub najmniejsze.

• Zapisujemy wzór na to, co chcemy zoptymalizować (np. pole prostokąta).
• Wyrażamy ten wzór jako funkcję jednej zmiennej. Często trzeba skorzystać z jakiejś zależności, żeby wyeliminować drugą zmienną (np. obwód prostokąta).
• Liczymy pochodną tej funkcji.
• Znajdujemy miejsca zerowe pochodnej. To są potencjalne punkty, w których funkcja ma ekstremum (maksimum lub minimum).
• Sprawdzamy, czy w danym punkcie funkcja ma maksimum, minimum, czy punkt przegięcia. Można to zrobić za pomocą drugiej pochodnej lub analizując znak pierwszej pochodnej w otoczeniu punktu.
• Wyciągamy wniosek.

Zadanie 7. (Dowód geometryczny)

Trzeba udowodnić jakąś własność geometryczną.

• Rysujemy rysunek. Dobry rysunek to połowa sukcesu.
• Zapisujemy założenia i tezę.
• Korzystamy z twierdzeń i własności geometrycznych, które znamy (np. twierdzenie Pitagorasa, twierdzenie Talesa, cechy podobieństwa trójkątów, własności kątów w okręgu).
• Krok po kroku dedukujemy, aż dojdziemy od założeń do tezy.

Zadanie 8. (Ciągi)

Dane są jakieś informacje o ciągu (np. wzór ogólny, kilka początkowych wyrazów). Trzeba coś o nim policzyć lub udowodnić.

• Sprawdzamy, czy ciąg jest arytmetyczny, geometryczny, czy żaden z tych.
• Jeśli jest arytmetyczny, korzystamy ze wzorów na n-ty wyraz, sumę n początkowych wyrazów.
• Jeśli jest geometryczny, korzystamy ze wzorów na n-ty wyraz, sumę n początkowych wyrazów (pamiętamy o przypadku, gdy |q| < 1 i liczymy sumę nieskończonego ciągu geometrycznego).
• Jeśli ciąg nie jest ani arytmetyczny, ani geometryczny, to trzeba poszukać jakiejś innej regularności lub użyć indukcji matematycznej.

Zadanie z Geometrii Przestrzennej

Zadanie 9. (Geometria przestrzenna)

Mamy bryłę (np. ostrosłup, graniastosłup, stożek, walec, kula). Trzeba policzyć jej objętość, pole powierzchni, kąty między ścianami, odległości punktów od płaszczyzn itp.

• Rysujemy rysunek. Rysunek w geometrii przestrzennej jest trudniejszy niż w geometrii płaskiej, ale równie ważny.
• Przypominamy sobie wzory na objętości i pola powierzchni różnych brył.
• Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa, trygonometrii i geometrii płaskiej, żeby znaleźć potrzebne długości odcinków i miary kątów.
• Obliczamy szukane wielkości.

Zadanie 10. (Rachunek różniczkowy i całkowy)

Trzeba policzyć granicę funkcji lub całkę.

• Granice: Patrzymy, czy granica jest postaci 0/0, ∞/∞, 0*∞, ∞-∞ itp. Jeśli tak, to stosujemy regułę de l'Hospitala (liczymy pochodną licznika i mianownika). Czasami trzeba najpierw przekształcić wyrażenie, żeby móc zastosować regułę de l'Hospitala.
• Całki: Przypominamy sobie podstawowe wzory na całki. Stosujemy metodę podstawiania lub całkowania przez części. Czasami trzeba rozłożyć funkcję podcałkową na ułamki proste.

Mam nadzieję, że to pomoże! Pamiętaj, że to tylko ogólny schemat postępowania. Każde zadanie jest inne i wymaga indywidualnego podejścia. Powodzenia na maturze! Ćwicz regularnie, a na pewno dasz radę!